Номер 35, страница 298 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы. Тренировочные упражнения - номер 35, страница 298.

Условие.

35. Сколько пар целых чисел являются решениями неравенства $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 \leq 4$? Покажите их точками на координатной плоскости.

Решение.

Решение 2 (rus).

Сколько пар целых чисел являются решениями неравенства

Данное неравенство $(x+2)^2 + (y-1)^2 \le 4$ описывает множество точек на координатной плоскости, которые находятся внутри и на границе окружности.

Уравнение окружности в общем виде: $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — центр окружности, а $R$ — её радиус.

В нашем случае неравенство можно переписать как $(x - (-2))^2 + (y - 1)^2 \le 2^2$. Отсюда следует, что центр окружности находится в точке $C(-2, 1)$, а её радиус $R = 2$. Мы ищем все пары целых чисел $(x, y)$, которые удовлетворяют этому неравенству, то есть все целочисленные точки, лежащие внутри круга или на его границе.

Поскольку радиус равен 2, абсцисса $x$ любой точки круга должна удовлетворять условию $-2 - 2 \le x \le -2 + 2$, то есть $-4 \le x \le 0$. Таким образом, $x$ может принимать целые значения: -4, -3, -2, -1, 0.

Рассмотрим каждое возможное целое значение $x$ и найдем для него соответствующие целые значения $y$.

1. При $x = -4$:
$(-4+2)^2 + (y-1)^2 \le 4$
$(-2)^2 + (y-1)^2 \le 4$
$4 + (y-1)^2 \le 4$
$(y-1)^2 \le 0$
Единственное решение — $(y-1)^2 = 0$, откуда $y-1=0$, то есть $y=1$.
Получаем одну точку: $(-4, 1)$.

2. При $x = -3$:
$(-3+2)^2 + (y-1)^2 \le 4$
$(-1)^2 + (y-1)^2 \le 4$
$1 + (y-1)^2 \le 4$
$(y-1)^2 \le 3$
$-\sqrt{3} \le y-1 \le \sqrt{3}$
$1-\sqrt{3} \le y \le 1+\sqrt{3}$
Так как $\sqrt{3} \approx 1.73$, получаем $-0.73 \le y \le 2.73$. Целые значения $y$: 0, 1, 2.
Получаем три точки: $(-3, 0)$, $(-3, 1)$, $(-3, 2)$.

3. При $x = -2$:
$(-2+2)^2 + (y-1)^2 \le 4$
$0^2 + (y-1)^2 \le 4$
$(y-1)^2 \le 4$
$-2 \le y-1 \le 2$
$-1 \le y \le 3$. Целые значения $y$: -1, 0, 1, 2, 3.
Получаем пять точек: $(-2, -1)$, $(-2, 0)$, $(-2, 1)$, $(-2, 2)$, $(-2, 3)$.

4. При $x = -1$:
$(-1+2)^2 + (y-1)^2 \le 4$
$1^2 + (y-1)^2 \le 4$
$(y-1)^2 \le 3$
Как и в случае $x=-3$, получаем целые значения $y$: 0, 1, 2.
Получаем три точки: $(-1, 0)$, $(-1, 1)$, $(-1, 2)$.

5. При $x = 0$:
$(0+2)^2 + (y-1)^2 \le 4$
$2^2 + (y-1)^2 \le 4$
$4 + (y-1)^2 \le 4$
$(y-1)^2 \le 0$
Как и в случае $x=-4$, получаем $y=1$.
Получаем одну точку: $(0, 1)$.

Суммируя количество точек для каждого значения $x$, получаем общее число пар целых чисел: $1 + 3 + 5 + 3 + 1 = 13$.

Ответ: 13 пар целых чисел являются решениями неравенства.

Покажите их точками на координатной плоскости

На графике ниже синим цветом показан круг, соответствующий неравенству. Красными точками отмечены все пары целых чисел $(x, y)$, являющиеся его решениями.

Ответ: Графическое представление целочисленных решений показано на рисунке выше.