Номер 33, страница 298 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы. Тренировочные упражнения - номер 33, страница 298.

Условие.

33. Запишите неравенство, множество решений которого показано на рисунке 1.

a)

б)

в)

г)

Рисунок 1

Решение.

Решение 2 (rus).

а) На рисунке изображена полуплоскость, ограниченная прямой линией. Поскольку граница изображена пунктирной линией, неравенство будет строгим (со знаками $<$ или $>$). Найдем уравнение этой прямой. Прямая проходит через точки с координатами $(-1, 0)$ и $(0, 1)$. Угловой коэффициент $k$ равен $k = \frac{1 - 0}{0 - (-1)} = 1$. Прямая пересекает ось $y$ в точке $1$, поэтому ее уравнение имеет вид $y = x + 1$. Заштрихованная область находится ниже этой прямой. Чтобы определить знак неравенства, возьмем любую точку из заштрихованной области, например, начало координат $(0, 0)$. Подставив ее координаты, сравним значения $y$ и $x+1$: $0$ и $0+1=1$. Так как $0 < 1$, неравенство, описывающее множество решений, — это $y < x + 1$.
Ответ: $y < x + 1$.

б) На рисунке изображена горизонтальная полоса, ограниченная двумя сплошными прямыми. Сплошные линии означают, что неравенство будет нестрогим (со знаками $\le$ или $\ge$). Верхняя граница — это прямая $y = 2$, а нижняя — ось абсцисс, то есть прямая $y = 0$. Заштрихованная область находится между этими двумя прямыми, включая сами прямые. Это можно описать системой двух неравенств: $y \ge 0$ и $y \le 2$, или одним двойным неравенством $0 \le y \le 2$. Такое двойное неравенство можно записать в виде одного неравенства с модулем. Центр отрезка $[0, 2]$ — точка $1$, а его полудлина — $1$. Неравенство $|y - c| \le r$ задает множество точек, находящихся от центра $c$ на расстоянии, не превышающем $r$. В нашем случае получаем $|y - 1| \le 1$.
Ответ: $|y - 1| \le 1$.

в) На рисунке изображена вся координатная плоскость, за исключением области внутри круга. Граница круга изображена пунктирной линией, что означает строгое неравенство. Центр этого круга находится в точке $(1, 1)$. Радиус круга $r$ можно найти как расстояние от центра до любой точки на окружности, например, до точки $(1, 0)$. $r = \sqrt{(1-1)^2 + (1-0)^2} = 1$. Уравнение окружности имеет вид $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$, что для данного случая дает $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1^2$. Заштрихованная область находится вне круга. Это означает, что для любой точки $(x,y)$ из этой области квадрат расстояния до центра $(1,1)$ больше квадрата радиуса. Таким образом, искомое неравенство: $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 > 1$. Наклонные линии являются лишь способом штриховки и не задают дополнительных границ.
Ответ: $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 > 1$.

г) Заштрихованная область ограничена снизу графиком функции $y = |x|$. Граница является сплошной линией, поэтому неравенство будет нестрогим. Заштрихованная область находится выше графика $y=|x|$. Это означает, что для любой точки $(x, y)$ из этой области ее координата $y$ больше или равна значению $|x|$. Следовательно, неравенство, описывающее данное множество, — это $y \ge |x|$. Проверим это, взяв контрольную точку из заштрихованной области, например, $(0, 1)$. Подставляя, получаем $1 \ge |0|$, или $1 \ge 0$, что верно. Для точки вне области, например, $(1, 0)$, получаем $0 \ge |1|$, или $0 \ge 1$, что неверно. Таким образом, неравенство определено правильно.
Ответ: $y \ge |x|$.