Номер 39, страница 299 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы. Тренировочные упражнения - номер 39, страница 299.

Условие.

39. Составьте систему неравенств, множество решений которой изображено на рисунке 2.

a)

$y \ge x^2-1$
$y < 2$

б)

$0 \le x \le 4$
$0 \le y \le \sqrt{x}$

в)

$x^2 + y^2 \le 4$
$y \ge 0$

Рисунок 2

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Заштрихованная область на рисунке ограничена снизу параболой, уравнение которой $y = x^2 - 1$, и сверху горизонтальной прямой $y = 2$. Поскольку область находится выше параболы и граница (сама парабола) является сплошной линией, то первое неравенство системы будет $y \ge x^2 - 1$. Область находится ниже прямой $y = 2$, и эта прямая изображена пунктиром, что означает, что точки на самой прямой не входят в множество решений. Следовательно, второе неравенство системы — строгое: $y < 2$. Объединив эти два условия, получаем искомую систему неравенств.
Ответ: $\begin{cases} y \ge x^2 - 1 \\ y < 2 \end{cases}$

б) Заштрихованная область ограничена тремя линиями: графиком функции $y = \sqrt{x}$, вертикальной прямой $x = 4$ и осью абсцисс $y = 0$. Все граничные линии сплошные, поэтому все неравенства будут нестрогими. Область расположена ниже графика функции $y = \sqrt{x}$, что соответствует неравенству $y \le \sqrt{x}$. Область расположена левее вертикальной прямой $x = 4$, что соответствует неравенству $x \le 4$. Область расположена выше оси абсцисс ($y = 0$), что соответствует неравенству $y \ge 0$. Из графика также видно, что область определения для $x$ начинается с нуля, то есть $x \ge 0$, что является естественным условием для функции $y = \sqrt{x}$. Это условие следует из системы: если $y \ge 0$ и $y \le \sqrt{x}$, то $\sqrt{x} \ge 0$, что верно при $x \ge 0$. Таким образом, система состоит из трех неравенств.
Ответ: $\begin{cases} y \le \sqrt{x} \\ x \le 4 \\ y \ge 0 \end{cases}$

в) Заштрихованная область представляет собой сектор круга с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=2$. Уравнение окружности, ограничивающей этот круг, имеет вид $x^2 + y^2 = R^2$, то есть $x^2 + y^2 = 4$. Поскольку область находится внутри круга и граница сплошная, первое неравенство системы: $x^2 + y^2 \le 4$. Область расположена во второй координатной четверти. Это означает, что значения $x$ неположительны, а значения $y$ неотрицательны. Границы, соответствующие осям координат, также включены в область (сплошные линии). Это дает нам еще два неравенства: $x \le 0$ (область левее или на оси $y$) и $y \ge 0$ (область выше или на оси $x$). Объединив эти три условия, получаем искомую систему.
Ответ: $\begin{cases} x^2 + y^2 \le 4 \\ x \le 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$