Номер 24, страница 297 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы. Тренировочные упражнения - номер 24, страница 297.

Условие.

24. Найдите два положительных числа, если их сумма равна 11, а произведение равно 30.

Решение.

Решение 2 (rus).

Обозначим искомые положительные числа как $x$ и $y$. Согласно условию задачи, их сумма равна 11, а их произведение равно 30. Это можно записать в виде системы двух уравнений:

$x + y = 11$

$x \cdot y = 30$

Для решения этой системы можно выразить одну переменную через другую. Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 11 - x$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

$x \cdot (11 - x) = 30$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$11x - x^2 = 30$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 11x + 30 = 0$

Корнями этого квадратного уравнения и будут искомые числа. Это следует из обратной теоремы Виета, согласно которой, если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$, то они являются корнями уравнения $t^2 + pt + q = 0$. В нашем случае сумма чисел равна 11, а произведение 30, поэтому они являются корнями уравнения $t^2 - 11t + 30 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-11$, $c=30$:

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 - 120 = 1$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, которые мы найдем по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 1}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 1}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Таким образом, искомые числа — это 5 и 6. Проверим их: они оба положительные, их сумма $5 + 6 = 11$, а их произведение $5 \cdot 6 = 30$, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 5 и 6.