Номер 17, страница 296 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы. Тренировочные упражнения - номер 17, страница 296.

Условие.

17. Объясните, почему не существует пары чисел, являющейся решением системы уравнений:

а) $\begin{cases} x + y = 7, \\ x^2 + y^2 = -4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - y = 1, \\ x^2 + y^2 = 0. \end{cases}$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Рассмотрим второе уравнение системы: $x^2 + y^2 = -4$. В области действительных чисел квадрат любого числа является неотрицательной величиной, то есть $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$ для любых действительных чисел $x$ и $y$. Сумма двух неотрицательных чисел также всегда неотрицательна: $x^2 + y^2 \ge 0$. Однако, второе уравнение системы утверждает, что эта сумма равна -4, что является отрицательным числом. Это противоречие означает, что не существует такой пары действительных чисел $(x, y)$, которая бы удовлетворяла второму уравнению. Следовательно, вся система уравнений не имеет решений в действительных числах.
Ответ: Системa не имеет решений, так как сумма квадратов двух действительных чисел ($x^2 + y^2$) не может быть отрицательным числом.

б) Рассмотрим второе уравнение системы: $x^2 + y^2 = 0$. Сумма квадратов двух действительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из чисел равно нулю. То есть, из уравнения $x^2 + y^2 = 0$ однозначно следует, что $x^2=0$ и $y^2=0$, а значит $x=0$ и $y=0$. Таким образом, единственной парой чисел, удовлетворяющей второму уравнению, является $(0, 0)$. Теперь проверим, удовлетворяет ли эта пара первому уравнению системы, $x - y = 1$. Подставим значения $x=0$ и $y=0$ в первое уравнение: $0 - 0 = 1$, что приводит к неверному равенству $0 = 1$. Поскольку единственная пара чисел, являющаяся решением второго уравнения, не является решением первого, у данной системы уравнений нет решений.
Ответ: Система не имеет решений, поскольку единственное решение второго уравнения ($x=0, y=0$) не удовлетворяет первому уравнению.