Номер 11, страница 296 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы. Тренировочные упражнения - номер 11, страница 296.

Условие.

11. Сколько решений имеет уравнение:

a) $(x^2 - 1)^2 + (y - 1)^2 = 0$;

б) $(x + 1)^2 + (y^2 - 4)^2 = 0?

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Данное уравнение представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых (квадратов), которая равна нулю. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю. То есть, $(x^2 - 1)^2 \ge 0$ и $(y - 1)^2 \ge 0$. Поэтому равенство $(x^2 - 1)^2 + (y - 1)^2 = 0$ выполняется только при одновременном выполнении двух условий:

$$\begin{cases} x^2 - 1 = 0 \\ y - 1 = 0\end{cases}$$

Решим эту систему уравнений.
Из первого уравнения получаем:
$x^2 = 1$
$x_1 = 1$ или $x_2 = -1$.
Из второго уравнения получаем:
$y = 1$.
Чтобы найти решения исходного уравнения, нужно составить все возможные пары $(x, y)$, удовлетворяющие системе. Каждому из двух значений $x$ соответствует одно значение $y$:
1. Пара $(1, 1)$
2. Пара $(-1, 1)$
Следовательно, уравнение имеет два решения.
Ответ: 2

б) Аналогично пункту а), данное уравнение также является суммой двух квадратов, равной нулю. Это возможно только в том случае, когда оба выражения, возводимые в квадрат, равны нулю.
$(x + 1)^2 \ge 0$ и $(y^2 - 4)^2 \ge 0$.
Следовательно, уравнение $(x + 1)^2 + (y^2 - 4)^2 = 0$ равносильно системе уравнений:

$$\begin{cases} x + 1 = 0 \\ y^2 - 4 = 0\end{cases}$$

Решим эту систему.
Из первого уравнения получаем:
$x = -1$.
Из второго уравнения получаем:
$y^2 = 4$
$y_1 = 2$ или $y_2 = -2$.
Теперь составим все возможные пары $(x, y)$, которые являются решениями системы. Одному значению $x$ соответствуют два значения $y$:
1. Пара $(-1, 2)$
2. Пара $(-1, -2)$
Следовательно, уравнение имеет два решения.
Ответ: 2