Номер 10, страница 295 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы. Тренировочные упражнения - номер 10, страница 295.

Условие.

10. Решите уравнение:

a) $9x^2 - 16y^2 = 0;$

б) $100x^2 - 36y^2 = 0;$

в) $81x^2 + 49y^2 = 0;$

г) $\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{25}y^2 = 0.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Уравнение $9x^2 - 16y^2 = 0$ представляет собой разность квадратов. Его можно переписать в виде $(3x)^2 - (4y)^2 = 0$. Применив формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получим $(3x - 4y)(3x + 4y) = 0$. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Это приводит к двум возможным случаям:
1) $3x - 4y = 0 \implies 3x = 4y \implies y = \frac{3}{4}x$.
2) $3x + 4y = 0 \implies 3x = -4y \implies y = -\frac{3}{4}x$.
Объединяя эти два решения, получаем ответ.
Ответ: $y = \pm\frac{3}{4}x$.

б) Уравнение $100x^2 - 36y^2 = 0$. Для упрощения разделим обе части уравнения на общий делитель 4: $25x^2 - 9y^2 = 0$. Это также разность квадратов: $(5x)^2 - (3y)^2 = 0$. Разложим на множители: $(5x - 3y)(5x + 3y) = 0$. Отсюда следует, что либо $5x - 3y = 0$, либо $5x + 3y = 0$. Решая эти уравнения относительно $y$, находим:
1) $5x = 3y \implies y = \frac{5}{3}x$.
2) $5x = -3y \implies y = -\frac{5}{3}x$.
Ответ: $y = \pm\frac{5}{3}x$.

в) Уравнение $81x^2 + 49y^2 = 0$. В области действительных чисел квадрат любого числа является неотрицательной величиной, то есть $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$. Следовательно, выражения $81x^2$ и $49y^2$ также неотрицательны. Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю. Таким образом, система уравнений должна выполняться одновременно:
$81x^2 = 0 \implies x^2 = 0 \implies x = 0$.
$49y^2 = 0 \implies y^2 = 0 \implies y = 0$.
Следовательно, уравнение имеет единственное решение.
Ответ: $x=0, y=0$.

г) Уравнение $\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{25}y^2 = 0$. Это уравнение является разностью квадратов: $(\frac{1}{2}x)^2 - (\frac{1}{5}y)^2 = 0$. Разложим на множители: $(\frac{1}{2}x - \frac{1}{5}y)(\frac{1}{2}x + \frac{1}{5}y) = 0$. Приравнивая каждый множитель к нулю, получаем два случая:
1) $\frac{1}{2}x - \frac{1}{5}y = 0 \implies \frac{1}{2}x = \frac{1}{5}y \implies y = \frac{5}{2}x$.
2) $\frac{1}{2}x + \frac{1}{5}y = 0 \implies \frac{1}{2}x = -\frac{1}{5}y \implies y = -\frac{5}{2}x$.
Ответ: $y = \pm\frac{5}{2}x$.