Номер 12, страница 296 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы. Тренировочные упражнения - номер 12, страница 296.

Условие.

12. Постройте график уравнения:

a) $4xy = 12$;

б) $-2xy = 16$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $4xy = 12$

Для построения графика уравнения преобразуем его, выразив переменную $y$ через $x$. Для этого разделим обе части уравнения на $4x$. Важно отметить, что $x$ не может быть равен нулю, так как в этом случае уравнение превращается в $0 = 12$, что неверно.

$xy = \frac{12}{4}$

$xy = 3$

$y = \frac{3}{x}$

Полученная функция $y = \frac{3}{x}$ является обратной пропорциональностью. Графиком такой функции является гипербола. Поскольку коэффициент $k=3$ положителен ($k>0$), ветви гиперболы будут располагаться в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат $Ox$ и $Oy$.

Для построения графика составим таблицу значений для нескольких точек:

Для первой ветви (I четверть):

• при $x=1$, $y = \frac{3}{1} = 3$. Точка $(1; 3)$.
• при $x=2$, $y = \frac{3}{2} = 1.5$. Точка $(2; 1.5)$.
• при $x=3$, $y = \frac{3}{3} = 1$. Точка $(3; 1)$.
• при $x=0.5$, $y = \frac{3}{0.5} = 6$. Точка $(0.5; 6)$.

Для второй ветви (III четверть):

• при $x=-1$, $y = \frac{3}{-1} = -3$. Точка $(-1; -3)$.
• при $x=-2$, $y = \frac{3}{-2} = -1.5$. Точка $(-2; -1.5)$.
• при $x=-3$, $y = \frac{3}{-3} = -1$. Точка $(-3; -1)$.
• при $x=-0.5$, $y = \frac{3}{-0.5} = -6$. Точка $(-0.5; -6)$.

Соединив эти точки плавными линиями в каждой четверти, мы получим две ветви гиперболы, которые и являются графиком исходного уравнения.

Ответ: Графиком уравнения является гипербола $y = \frac{3}{x}$ с ветвями в I и III координатных четвертях.

---

б) $-2xy = 16$

Аналогично предыдущему пункту, преобразуем уравнение, чтобы выразить $y$ через $x$. Разделим обе части уравнения на $-2x$. Так же, как и в первом случае, $x \ne 0$.

$xy = \frac{16}{-2}$

$xy = -8$

$y = -\frac{8}{x}$

Эта функция $y = -\frac{8}{x}$ также является обратной пропорциональностью, и ее график — гипербола. В данном случае коэффициент $k=-8$ отрицателен ($k<0$), поэтому ветви гиперболы будут располагаться во II и IV координатных четвертях. Оси координат $Ox$ и $Oy$ являются асимптотами.

Составим таблицу значений для построения графика:

Для первой ветви (II четверть):

• при $x=-1$, $y = -\frac{8}{-1} = 8$. Точка $(-1; 8)$.
• при $x=-2$, $y = -\frac{8}{-2} = 4$. Точка $(-2; 4)$.
• при $x=-4$, $y = -\frac{8}{-4} = 2$. Точка $(-4; 2)$.
• при $x=-8$, $y = -\frac{8}{-8} = 1$. Точка $(-8; 1)$.

Для второй ветви (IV четверть):

• при $x=1$, $y = -\frac{8}{1} = -8$. Точка $(1; -8)$.
• при $x=2$, $y = -\frac{8}{2} = -4$. Точка $(2; -4)$.
• при $x=4$, $y = -\frac{8}{4} = -2$. Точка $(4; -2)$.
• при $x=8$, $y = -\frac{8}{8} = -1$. Точка $(8; -1)$.

Построим точки на координатной плоскости и соединим их плавными линиями, получив две ветви гиперболы.

Ответ: Графиком уравнения является гипербола $y = -\frac{8}{x}$ с ветвями во II и IV координатных четвертях.