Номер 4, страница 295 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы. Тренировочные упражнения - номер 4, страница 295.

Условие.

4. Объясните, почему уравнение $(x + 14)^2 + (y - 15)^2 = 0$ имеет только одно решение и найдите его.

Решение.

Решение 2 (rus).

Объяснение, почему уравнение имеет только одно решение

Рассмотрим данное уравнение $(x + 14)^2 + (y - 15)^2 = 0$.
Левая часть уравнения является суммой двух слагаемых: $(x + 14)^2$ и $(y - 15)^2$.
Каждое из этих слагаемых представляет собой квадрат действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательной величиной, то есть большим или равным нулю.
Следовательно, мы имеем:
$(x + 14)^2 \ge 0$
$(y - 15)^2 \ge 0$
Сумма двух неотрицательных чисел может равняться нулю только в том случае, если каждое из этих чисел равно нулю. Если бы хотя бы одно слагаемое было положительным, их сумма также была бы положительной.
Таким образом, равенство нулю возможно тогда и только тогда, когда выполняются оба условия одновременно:
$\begin{cases}(x + 14)^2 = 0 \\(y - 15)^2 = 0\end{cases}$
Поскольку каждое уравнение в этой системе имеет ровно один корень, вся система имеет единственное решение. Это доказывает, что исходное уравнение имеет только одно решение.
Ответ: Уравнение представляет собой сумму двух неотрицательных выражений, которая равна нулю. Это возможно только в том случае, если каждое из выражений равно нулю, что приводит к системе уравнений с единственным решением.

Нахождение этого решения

Для нахождения решения необходимо решить систему уравнений, полученную в ходе объяснения:
$\begin{cases}(x + 14)^2 = 0 \\(y - 15)^2 = 0\end{cases}$
Решаем первое уравнение:
$x + 14 = 0$
$x = -14$
Решаем второе уравнение:
$y - 15 = 0$
$y = 15$
Таким образом, единственное решение уравнения — это пара чисел $x = -14$ и $y = 15$.
Ответ: $(-14; 15)$.