Номер 1047, страница 266 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
Элементы статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 1047, страница 266.
№1047 (с. 266)
Условие. №1047 (с. 266)
скриншот условия

1047. В равнобедренной трапеции $ABCD$ верхнее основание $BC$ и ее высота $BH$ равны по 1 дм, угол $A$ равен $15^\circ$. Докажите, что вероятность того, что случайно взятая точка этой трапеции принадлежит треугольнику $ABH$, равна $\frac{3+\sqrt{3}}{12}$.
Решение. №1047 (с. 266)

Решение 2 (rus). №1047 (с. 266)
Вероятность того, что случайно взятая точка трапеции принадлежит треугольнику $ABH$, по определению геометрической вероятности равна отношению площади треугольника $S_{ABH}$ к площади всей трапеции $S_{ABCD}$.
$P = \frac{S_{ABH}}{S_{ABCD}}$
Сначала найдем площадь прямоугольного треугольника $ABH$. Поскольку $BH$ является высотой трапеции, угол $\angle BHA = 90^\circ$. По условию задачи, высота $BH = 1$ дм, а угол $\angle A = 15^\circ$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S_{ABH} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot BH$.
Найдем длину катета $AH$ из треугольника $ABH$ с помощью тангенса угла $A$:
$\text{tg}(\angle A) = \frac{BH}{AH} \implies AH = \frac{BH}{\text{tg}(15^\circ)} = \frac{1}{\text{tg}(15^\circ)}$
Для вычисления значения $\text{tg}(15^\circ)$ используем формулу тангенса разности:
$\text{tg}(15^\circ) = \text{tg}(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\text{tg}(45^\circ) - \text{tg}(30^\circ)}{1 + \text{tg}(45^\circ)\text{tg}(30^\circ)} = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3}-1)$:
$\text{tg}(15^\circ) = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$
Теперь можем найти длину $AH$:
$AH = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 + \sqrt{3}$ дм.
Площадь треугольника $ABH$ равна:
$S_{ABH} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot (2 + \sqrt{3}) \cdot 1 = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ дм$^2$.
Далее найдем площадь трапеции $ABCD$. Формула площади трапеции: $S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot BH$. Нам известно верхнее основание $BC=1$ дм и высота $BH=1$ дм. Необходимо найти длину нижнего основания $AD$.
Так как трапеция $ABCD$ равнобедренная, мы можем провести вторую высоту $CK$ из вершины $C$ на основание $AD$. В этом случае отрезки $AH$ и $KD$ будут равны. Четырехугольник $HBCK$ является прямоугольником, поэтому $HK = BC = 1$ дм.
Длина нижнего основания $AD$ складывается из длин отрезков $AH$, $HK$ и $KD$:
$AD = AH + HK + KD = (2 + \sqrt{3}) + 1 + (2 + \sqrt{3}) = 5 + 2\sqrt{3}$ дм.
Теперь вычислим площадь трапеции $ABCD$:
$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot BH = \frac{(5 + 2\sqrt{3}) + 1}{2} \cdot 1 = \frac{6 + 2\sqrt{3}}{2} = 3 + \sqrt{3}$ дм$^2$.
Наконец, вычислим искомую вероятность как отношение площадей:
$P = \frac{S_{ABH}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{3 + \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2(3 + \sqrt{3})}$
Упростим полученное выражение, умножив числитель и знаменатель на $(3 - \sqrt{3})$:
$P = \frac{(2 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})}{2(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})} = \frac{6 - 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 3}{2(3^2 - (\sqrt{3})^2)} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2(9 - 3)} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2 \cdot 6} = \frac{3 + \sqrt{3}}{12}$
Мы получили значение, указанное в условии задачи, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение, приведённое в задаче, доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 1047 расположенного на странице 266 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1047 (с. 266), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.