Номер 1040, страница 265 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Элементы статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 1040, страница 265.

Условие.

1040. В чемпионате КХЛ (Континентальной хоккейной лиги) участвуют 12 команд, 8 из которых выходят в следующий этап соревнований. Сколько есть вариантов распределения первых восьми мест между ними?

Решение.

Решение 2 (rus).

В этой задаче требуется определить, сколькими способами можно распределить первые 8 мест среди 12 команд. Поскольку порядок, в котором команды занимают места, важен (например, команда А на 1-м месте и команда Б на 2-м — это не то же самое, что команда Б на 1-м и команда А на 2-м), мы должны использовать формулу для нахождения числа размещений.

Число размещений из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Где $n$ — общее количество элементов (в нашем случае команд), а $k$ — количество элементов, которые мы выбираем и упорядочиваем (в нашем случае призовых мест).

В нашей задаче:

$n = 12$ (всего команд)

$k = 8$ (количество мест)

Подставляем значения в формулу:

$A_{12}^8 = \frac{12!}{(12-8)!} = \frac{12!}{4!}$

Распишем вычисление:

$A_{12}^8 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!} = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5$

Выполним умножение:

$12 \cdot 11 = 132$

$132 \cdot 10 = 1320$

$1320 \cdot 9 = 11880$

$11880 \cdot 8 = 95040$

$95040 \cdot 7 = 665280$

$665280 \cdot 6 = 3991680$

$3991680 \cdot 5 = 19958400$

Таким образом, существует 19 958 400 вариантов распределения первых восьми мест.

Ответ: 19 958 400