Номер 1035, страница 264 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Элементы статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 1035, страница 264.

Условие.

1035. Сколько прямых можно провести через 5 данных точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для того чтобы провести одну прямую, необходимо и достаточно иметь две точки. По условию задачи даны 5 точек, и никакие три из них не лежат на одной прямой. Это означает, что каждая пара точек определяет уникальную прямую. Следовательно, задача сводится к тому, чтобы посчитать, сколькими способами можно выбрать 2 точки из 5 данных.

Это классическая задача комбинаторики на нахождение числа сочетаний. Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ (в нашем случае из 5 по 2) находится по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Где $n$ – общее количество элементов (точек), а $k$ – количество элементов в каждой выборке (точек, необходимых для построения прямой).

В нашем случае $n=5$ и $k=2$. Подставим значения в формулу:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!}$

Распишем факториалы и произведем вычисление:

$C_5^2 = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1)} = \frac{120}{2 \times 6} = \frac{120}{12} = 10$

Также можно было сократить $3!$ в числителе и знаменателе для упрощения расчета:

$C_5^2 = \frac{5 \times 4 \times 3!}{2! \times 3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10$

Рассмотрим задачу и другим способом. Обозначим точки цифрами 1, 2, 3, 4, 5.

• Из точки 1 можно провести 4 прямые к точкам 2, 3, 4, 5.
• Из точки 2 можно провести 3 новые прямые к точкам 3, 4, 5 (прямая к точке 1 уже учтена).
• Из точки 3 можно провести 2 новые прямые к точкам 4, 5 (прямые к точкам 1 и 2 уже учтены).
• Из точки 4 можно провести 1 новую прямую к точке 5 (прямые к точкам 1, 2, 3 уже учтены).

Суммируем количество полученных прямых: $4 + 3 + 2 + 1 = 10$.

Таким образом, через 5 данных точек можно провести 10 различных прямых.

Ответ: 10