Номер 1030, страница 264 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Функции. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 1030, страница 264.

Условие.

1030. Исследуйте, при каких значениях $m$ начало координат находится на расстоянии 5 от вершины параболы:

а) $y = x^2 - 6x + m;$

б) $y = x^2 + 2mx + 13.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Найдем координаты вершины параболы $y = x^2 - 6x + m$. Координаты вершины $(x_v, y_v)$ параболы вида $y = ax^2 + bx + c$ находятся по формулам $x_v = -\frac{b}{2a}$ и $y_v = y(x_v)$.
В данном случае $a=1$, $b=-6$, $c=m$.
Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$.
Ордината вершины: $y_v = (3)^2 - 6(3) + m = 9 - 18 + m = m - 9$.
Таким образом, вершина параболы имеет координаты V(3, m - 9).
Начало координат — это точка O(0, 0).
Расстояние между вершиной V и началом координат O по условию равно 5. Используем формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$:
$\sqrt{(3 - 0)^2 + (m - 9 - 0)^2} = 5$
$\sqrt{9 + (m - 9)^2} = 5$
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$9 + (m - 9)^2 = 25$
$(m - 9)^2 = 25 - 9$
$(m - 9)^2 = 16$
Отсюда следует, что $m - 9 = 4$ или $m - 9 = -4$.
Решая первое уравнение, получаем: $m = 4 + 9 = 13$.
Решая второе уравнение, получаем: $m = -4 + 9 = 5$.
Ответ: $m=5, m=13$.

б) Найдем координаты вершины параболы $y = x^2 + 2mx + 13$.
В данном случае $a=1$, $b=2m$, $c=13$.
Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{2m}{2 \cdot 1} = -m$.
Ордината вершины: $y_v = (-m)^2 + 2m(-m) + 13 = m^2 - 2m^2 + 13 = 13 - m^2$.
Таким образом, вершина параболы имеет координаты V(-m, 13 - m^2).
Расстояние от вершины V до начала координат O(0, 0) равно 5.
$\sqrt{(-m - 0)^2 + (13 - m^2 - 0)^2} = 5$
$\sqrt{m^2 + (13 - m^2)^2} = 5$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$m^2 + (13 - m^2)^2 = 25$
$m^2 + 169 - 26m^2 + m^4 = 25$
Приведем подобные члены и запишем уравнение в стандартном виде:
$m^4 - 25m^2 + 144 = 0$
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $t = m^2$. Так как $m^2 \ge 0$, то $t \ge 0$.
Уравнение принимает вид:
$t^2 - 25t + 144 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $t$ с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 25, а их произведение равно 144. Легко подобрать корни: $t_1 = 9$ и $t_2 = 16$.
Оба значения $t$ положительны, поэтому они являются допустимыми решениями.
Теперь выполним обратную замену:
1) $m^2 = t_1 = 9 \implies m = \pm\sqrt{9} \implies m_1 = 3, m_2 = -3$.
2) $m^2 = t_2 = 16 \implies m = \pm\sqrt{16} \implies m_3 = 4, m_4 = -4$.
Мы получили четыре значения для $m$.
Ответ: $m=-4, m=-3, m=3, m=4$.