Номер 1025, страница 263 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Функции. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 1025, страница 263.

Условие.

1025. Постройте график функции:

а) $y = x^2 - 6x + c$, если ее наименьшее значение равно 1;

б) $y = -x^2 + 4x + c$, если ее наибольшее значение равно 2.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $y = x^2 - 6x + c$, если ее наименьшее значение равно 1;

Графиком данной квадратичной функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), ветви параболы направлены вверх. Следовательно, функция имеет наименьшее значение, которое достигается в вершине параболы.

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$:

$x_в = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$.

Ордината вершины $y_в$ и есть наименьшее значение функции, которое по условию равно 1. Таким образом, координаты вершины параболы: $(3, 1)$.

Теперь подставим координаты вершины в уравнение функции, чтобы найти коэффициент $c$:

$1 = (3)^2 - 6 \cdot 3 + c$

$1 = 9 - 18 + c$

$1 = -9 + c$

$c = 10$

Итак, искомая функция: $y = x^2 - 6x + 10$.

Для построения графика нам известна его вершина $(3, 1)$ и то, что ветви направлены вверх. Найдем несколько дополнительных точек. Ось симметрии параболы — прямая $x=3$.

При $x=2$: $y = 2^2 - 6(2) + 10 = 4 - 12 + 10 = 2$. Точка $(2, 2)$.

Точка, симметричная точке $(2, 2)$ относительно оси $x=3$, имеет координаты $(4, 2)$.

При $x=1$: $y = 1^2 - 6(1) + 10 = 1 - 6 + 10 = 5$. Точка $(1, 5)$.

Точка, симметричная точке $(1, 5)$ относительно оси $x=3$, имеет координаты $(5, 5)$.

Используя эти точки, можно построить параболу.

Ответ: График функции $y = x^2 - 6x + 10$ — это парабола с вершиной в точке $(3, 1)$ и ветвями, направленными вверх.

б) $y = -x^2 + 4x + c$, если ее наибольшее значение равно 2.

Графиком данной квадратичной функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a=-1<0$), ветви параболы направлены вниз. Следовательно, функция имеет наибольшее значение, которое достигается в вершине параболы.

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$:

$x_в = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = -\frac{4}{-2} = 2$.

Ордината вершины $y_в$ и есть наибольшее значение функции, которое по условию равно 2. Таким образом, координаты вершины параболы: $(2, 2)$.

Теперь подставим координаты вершины в уравнение функции, чтобы найти коэффициент $c$:

$2 = -(2)^2 + 4 \cdot 2 + c$

$2 = -4 + 8 + c$

$2 = 4 + c$

$c = -2$

Итак, искомая функция: $y = -x^2 + 4x - 2$.

Для построения графика нам известна его вершина $(2, 2)$ и то, что ветви направлены вниз. Найдем несколько дополнительных точек. Ось симметрии параболы — прямая $x=2$.

При $x=1$: $y = -(1)^2 + 4(1) - 2 = -1 + 4 - 2 = 1$. Точка $(1, 1)$.

Точка, симметричная точке $(1, 1)$ относительно оси $x=2$, имеет координаты $(3, 1)$.

При $x=0$: $y = -(0)^2 + 4(0) - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.

Точка, симметричная точке $(0, -2)$ относительно оси $x=2$, имеет координаты $(4, -2)$.

Используя эти точки, можно построить параболу.

Ответ: График функции $y = -x^2 + 4x - 2$ — это парабола с вершиной в точке $(2, 2)$ и ветвями, направленными вниз.