Номер 1020, страница 262 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Функции. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 1020, страница 262.

Условие.

1020. Укажите область определения, множество значений и постройте график функции, заданной формулой:

а) $y = 2x - 1$;

в) $y = \sqrt{x + 4}$;

б) $y = -\frac{8}{x}$;

г) $y = x^2 - 2x + 3$.

Используя график, укажите промежуток, на котором функция возрастает.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $y = 2x - 1$

1. Область определения $D(y)$: так как функция является линейной, она определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Множество значений $E(y)$: так как это прямая с ненулевым угловым коэффициентом, она может принимать любое действительное значение. $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Построение графика: Графиком является прямая линия. Для построения найдем координаты двух точек.
- при $x = 0$, $y = 2 \cdot 0 - 1 = -1$; точка $(0, -1)$.
- при $x = 1$, $y = 2 \cdot 1 - 1 = 1$; точка $(1, 1)$.
Проводим прямую через эти две точки.

4. Промежуток возрастания: Угловой коэффициент $k=2$ положителен ($k > 0$), следовательно, функция возрастает на всей своей области определения.

Ответ:Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Множество значений: $(-\infty; +\infty)$. Промежуток возрастания: $(-\infty; +\infty)$.

б) $y = -\frac{8}{x}$

1. Область определения $D(y)$: функция не определена, когда знаменатель равен нулю, то есть при $x = 0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Множество значений $E(y)$: значение функции никогда не может быть равно нулю, так как уравнение $-\frac{8}{x} = 0$ не имеет решений. $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3. Построение графика: Графиком является гипербола. Так как коэффициент $k=-8$ отрицателен, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптоты — оси координат $x=0$ и $y=0$. Несколько точек для построения: $(-4; 2), (-2; 4), (2; -4), (4; -2)$.

4. Промежуток возрастания: Из графика видно, что на промежутке $(-\infty; 0)$ при увеличении $x$ значения $y$ увеличиваются (например, от 1 к 8). То же самое происходит на промежутке $(0; +\infty)$ (например, от -8 к -1).

Ответ:Область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Множество значений: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Промежутки возрастания: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

в) $y = \sqrt{x+4}$

1. Область определения $D(y)$: выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $x+4 \ge 0$, откуда $x \ge -4$. Следовательно, $D(y) = [-4; +\infty)$.

2. Множество значений $E(y)$: значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательно.Следовательно, $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Построение графика: График данной функции — это график функции $y=\sqrt{x}$, смещенный на 4 единицы влево вдоль оси Ox. Это ветвь параболы, выходящая из точки $(-4; 0)$ и проходящая через точки $(-3; 1)$ и $(0; 2)$.

4. Промежуток возрастания: Из графика видно, что функция возрастает на всей своей области определения.

Ответ:Область определения: $[-4; +\infty)$. Множество значений: $[0; +\infty)$. Промежуток возрастания: $[-4; +\infty)$.

г) $y = x^2 - 2x + 3$

1. Область определения $D(y)$: так как функция является квадратичной (многочлен), она определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Множество значений $E(y)$: графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный). Наименьшее значение функция принимает в вершине параболы. Найдем координаты вершины:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
$y_v = 1^2 - 2(1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$.
Вершина находится в точке $(1; 2)$. Следовательно, множество значений $E(y) = [2; +\infty)$.

3. Построение графика: Парабола с вершиной в точке $(1; 2)$, ветвями вверх. Ось симметрии $x=1$. График пересекает ось Oy в точке $(0; 3)$ (при $x=0, y=3$).

4. Промежуток возрастания: Парабола с ветвями вверх возрастает на промежутке от абсциссы вершины до плюс бесконечности.

Ответ:Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Множество значений: $[2; +\infty)$. Промежуток возрастания: $[1; +\infty)$.