Номер 1027, страница 264 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Функции. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 1027, страница 264.

Условие.

1027. Постройте график функции, заданной формулой:

а) $y = x^2 - \frac{x}{|x|}$;

б) $y = x - \sqrt{(x + 3)^2}$;

в) $y = |x - |x - 4||$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $y = x^2 - \frac{x}{|x|}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $|x| \neq 0$, что означает $x \neq 0$. Таким образом, функция не определена в точке $x=0$.

Для построения графика раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Если $x > 0$, то по определению модуля $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = x^2 - \frac{x}{x} = x^2 - 1$.
Графиком функции на этом интервале является часть параболы $y = x^2 - 1$. Это стандартная парабола $y=x^2$, смещенная на 1 единицу вниз вдоль оси OY. Мы строим эту параболу только для $x > 0$. Точка, соответствующая $x=0$, то есть $(0, -1)$, является выколотой.

2. Если $x < 0$, то по определению модуля $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = x^2 - \frac{x}{-x} = x^2 - (-1) = x^2 + 1$.
Графиком функции на этом интервале является часть параболы $y = x^2 + 1$. Это стандартная парабола $y=x^2$, смещенная на 1 единицу вверх вдоль оси OY. Мы строим эту параболу только для $x < 0$. Точка, соответствующая $x=0$, то есть $(0, 1)$, также является выколотой.

Ответ: График функции представляет собой объединение двух частей парабол: части параболы $y = x^2 - 1$ при $x > 0$ (с выколотой точкой $(0, -1)$) и части параболы $y = x^2 + 1$ при $x < 0$ (с выколотой точкой $(0, 1)$).

б) $y = x - \sqrt{(x+3)^2}$

Упростим выражение, используя тождество $\sqrt{a^2} = |a|$.
$y = x - |x+3|$.

Теперь раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения $x+3$.

1. Если $x+3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$.
В этом случае $|x+3| = x+3$. Функция принимает вид:
$y = x - (x+3) = x - x - 3 = -3$.
Для $x \ge -3$ график функции — это горизонтальный луч $y=-3$, начинающийся в точке $(-3, -3)$ и идущий вправо.

2. Если $x+3 < 0$, то есть $x < -3$.
В этом случае $|x+3| = -(x+3) = -x-3$. Функция принимает вид:
$y = x - (-(x+3)) = x + x + 3 = 2x+3$.
Для $x < -3$ график функции — это луч прямой $y=2x+3$. Этот луч подходит к точке $(-3, -3)$, так как при $x \to -3$ слева, $y \to 2(-3)+3 = -3$.

График состоит из двух лучей, которые соединяются в точке $(-3, -3)$.

Ответ: График функции является ломаной линией, состоящей из двух лучей, исходящих из точки $(-3, -3)$. При $x < -3$ это луч $y=2x+3$, а при $x \ge -3$ это луч $y=-3$.

в) $y = |x - |x-4||$

Для построения графика необходимо последовательно раскрыть модули, начиная с внутреннего.

1. Раскроем внутренний модуль $|x-4|$.
Если $x-4 \ge 0$, то есть $x \ge 4$, то $|x-4| = x-4$.
Функция принимает вид:
$y = |x - (x-4)| = |x - x + 4| = |4| = 4$.
Таким образом, при $x \ge 4$ график функции — это горизонтальный луч $y=4$.

2. Если $x-4 < 0$, то есть $x < 4$, то $|x-4| = -(x-4) = 4-x$.
Функция принимает вид:
$y = |x - (4-x)| = |x - 4 + x| = |2x-4|$.

Теперь нам нужно раскрыть оставшийся модуль $|2x-4|$ на промежутке $x < 4$. Выражение $2x-4$ меняет знак в точке $x=2$. Поэтому рассмотрим два подинтервала.

2а. Если $2 \le x < 4$.
На этом промежутке $2x-4 \ge 0$, поэтому $|2x-4| = 2x-4$.
Итак, $y = 2x-4$. Это отрезок прямой. Найдём его концы: при $x=2, y=2(2)-4=0$; при $x=4, y=2(4)-4=4$. Отрезок соединяет точки $(2, 0)$ и $(4, 4)$.

2б. Если $x < 2$.
На этом промежутке $2x-4 < 0$, поэтому $|2x-4| = -(2x-4) = 4-2x$.
Итак, $y = 4-2x$. Это луч, который заканчивается в точке $(2, 0)$.

Соединяя все части, получаем график.

Ответ: График функции состоит из трех частей: луча $y=4-2x$ при $x < 2$, отрезка $y=2x-4$ при $2 \le x < 4$ и луча $y=4$ при $x \ge 4$. График представляет собой ломаную линию с точками излома в $(2, 0)$ и $(4, 4)$.