Номер 1026, страница 263 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Функции. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 1026, страница 263.

Условие.

1026. Исследуйте, четной или нечетной является функция:

a) $y = x^2 - |x| + 2$;

б) $y = \frac{(2x - 1)^3 - (2x + 1)^3}{x}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Чтобы исследовать функцию $y = x^2 - |x| + 2$ на четность или нечетность, необходимо проверить два условия: симметричность области определения относительно начала координат и выполнение одного из равенств: $y(-x) = y(x)$ (для четной функции) или $y(-x) = -y(x)$ (для нечетной функции).

1. Область определения. Выражение $x^2 - |x| + 2$ определено для всех действительных чисел $x$. Таким образом, область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Эта область является симметричной относительно точки $x=0$.

2. Проверка равенства. Найдем значение функции для аргумента $-x$:. $y(-x) = (-x)^2 - |-x| + 2$.

Используя свойства степени с четным показателем, $(-x)^2 = x^2$, и свойство модуля, $|-x| = |x|$, получаем: $y(-x) = x^2 - |x| + 2$.

Сравнивая полученное выражение с исходной функцией $y(x) = x^2 - |x| + 2$, видим, что $y(-x) = y(x)$.

Поскольку область определения симметрична и выполняется условие $y(-x) = y(x)$, данная функция является четной.

Ответ: функция является четной.

б)

Исследуем на четность функцию $y = \frac{(2x-1)^3 - (2x+1)^3}{x}$.

1. Область определения. Функция представляет собой дробь, знаменатель которой не может быть равен нулю. Следовательно, $x \neq 0$. Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Упрощение функции. Для удобства дальнейшего анализа упростим выражение в числителе. Воспользуемся формулами сокращенного умножения для куба разности и куба суммы: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Раскроем скобки в числителе:
$(2x-1)^3 = (2x)^3 - 3(2x)^2(1) + 3(2x)(1^2) - 1^3 = 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1$
$(2x+1)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2(1) + 3(2x)(1^2) + 1^3 = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1$

Теперь найдем разность этих выражений:
$(8x^3 - 12x^2 + 6x - 1) - (8x^3 + 12x^2 + 6x + 1) = 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 - 8x^3 - 12x^2 - 6x - 1 = -24x^2 - 2$.

Подставим полученный результат в исходную функцию:
$y(x) = \frac{-24x^2 - 2}{x} = -24x - \frac{2}{x}$.

3. Проверка равенства. Теперь, используя упрощенное выражение, найдем $y(-x)$:
$y(-x) = -24(-x) - \frac{2}{-x} = 24x + \frac{2}{x}$.

Сравним полученное выражение с $-y(x)$:
$-y(x) = -(-24x - \frac{2}{x}) = 24x + \frac{2}{x}$.

Мы видим, что выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$.

Так как область определения симметрична и выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$, данная функция является нечетной.

Ответ: функция является нечетной.