Номер 1028, страница 264 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Функции. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 1028, страница 264.

Условие.

1028. Решите задачу, используя графики функций. Найдите два положительных целых числа, если второе больше квадрата первого ($y > x^2$) и сумма квадрата разности первого числа и 3 и квадрата разности второго числа и 4 меньше 4 ($(x-3)^2 + (y-4)^2 < 4$).

Решение.

Решение 2 (rus).

Обозначим искомые положительные целые числа через $x$ (первое число) и $y$ (второе число). Согласно условию задачи, они должны удовлетворять системе неравенств:$$\begin{cases}y > x^2 \\(x-3)^2 + (y-4)^2 < 4 \\x \in \mathbb{Z}^+, y \in \mathbb{Z}^+\end{cases}$$

Для решения задачи используем графический метод. На координатной плоскости $Oxy$ рассмотрим области, заданные неравенствами системы.

Неравенство $(x-3)^2 + (y-4)^2 < 4$ задает множество точек, находящихся внутри круга с центром в точке $C(3, 4)$ и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$. Граница круга (окружность) в решение не входит.

Неравенство $y > x^2$ задает множество точек, расположенных выше параболы $y = x^2$. Точки на самой параболе в решение не входят.

Нам необходимо найти все точки с целыми положительными координатами, которые принадлежат пересечению этих двух областей.

Сначала найдем все точки с целыми координатами $(x, y)$, удовлетворяющие неравенству $(x-3)^2 + (y-4)^2 < 4$. Для этих точек должны выполняться условия $3 - 2 < x < 3 + 2$ и $4 - 2 < y < 4 + 2$, то есть $1 < x < 5$ и $2 < y < 6$. Следовательно, $x$ может принимать целые значения 2, 3, 4, а $y$ — целые значения 3, 4, 5.

Перебором можно убедиться, что все 9 пар, составленные из этих значений $x$ и $y$, удовлетворяют неравенству для круга. Эти точки: $(2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 3), (4, 4), (4, 5)$.

Теперь из этих девяти точек-кандидатов выберем те, которые удовлетворяют второму условию, $y > x^2$:
- Для $(2, 3)$: $3 > 2^2 \implies 3 > 4$ — неверно.
- Для $(2, 4)$: $4 > 2^2 \implies 4 > 4$ — неверно.
- Для $(2, 5)$: $5 > 2^2 \implies 5 > 4$ — верно.
- Для $(3, 3)$: $3 > 3^2 \implies 3 > 9$ — неверно.
- Для $(3, 4)$: $4 > 3^2 \implies 4 > 9$ — неверно.
- Для $(3, 5)$: $5 > 3^2 \implies 5 > 9$ — неверно.
- Для $(4, 3)$: $3 > 4^2 \implies 3 > 16$ — неверно.
- Для $(4, 4)$: $4 > 4^2 \implies 4 > 16$ — неверно.
- Для $(4, 5)$: $5 > 4^2 \implies 5 > 16$ — неверно.

Единственная точка с целочисленными положительными координатами, удовлетворяющая обоим неравенствам, — это $(2, 5)$. Таким образом, первое искомое число равно 2, а второе — 5.

Ответ: 2 и 5.