Номер 1031, страница 264 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Функции. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 1031, страница 264.

Условие.

1031. Постройте график функции, заданной формулой:

a) $y = \frac{x^4 - 3x^2 - 4}{x^2 - 4}$;

б) $y = \begin{cases} -1, \text{ если } x < -2 \text{ или } x > 2, \\ -x^2 + 3, \text{ если } -2 \le x \le 2. \end{cases}$

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Дана функция $y = \frac{x^4 - 3x^2 - 4}{x^2 - 4}$.
1. Найдём область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x^2 - 4 \neq 0$, что означает $x \neq 2$ и $x \neq -2$. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Упростим выражение для функции. Разложим числитель $x^4 - 3x^2 - 4$ на множители. Это биквадратный трехчлен. Сделаем замену $t = x^2$ (где $t \ge 0$). Получим квадратный трехчлен $t^2 - 3t - 4$.
Найдем его корни: $t^2 - 3t - 4 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим $t_1 = 4$ и $t_2 = -1$.
Так как $t = x^2$, то $t$ не может быть отрицательным, поэтому корень $t_2 = -1$ является посторонним. Разложение на множители для трехчлена: $(t - 4)(t - (-1)) = (t - 4)(t + 1)$.
Возвращаясь к переменной $x$, получаем: $x^4 - 3x^2 - 4 = (x^2 - 4)(x^2 + 1)$.

3. Подставим разложенный числитель в исходную функцию: $y = \frac{(x^2 - 4)(x^2 + 1)}{x^2 - 4}$.

4. При $x \neq \pm 2$ мы можем сократить дробь на $(x^2 - 4)$, получив: $y = x^2 + 1$.

5. Итак, график исходной функции — это парабола $y = x^2 + 1$, но с двумя "выколотыми" точками, так как в них исходная функция не определена.
График функции $y = x^2 + 1$ — это стандартная парабола $y=x^2$, смещенная на 1 единицу вверх по оси OY. Её вершина находится в точке $(0; 1)$, а ветви направлены вверх.
Найдём координаты выколотых точек, подставив $x = -2$ и $x = 2$ в упрощенную формулу $y = x^2 + 1$:
- при $x = 2$, $y = 2^2 + 1 = 5$. Точка $(2; 5)$ выколота.
- при $x = -2$, $y = (-2)^2 + 1 = 5$. Точка $(-2; 5)$ выколота.

Для построения графика необходимо начертить параболу $y = x^2 + 1$ и отметить на ней точки $(2; 5)$ и $(-2; 5)$ как пустые (выколотые).

Ответ: Графиком функции является парабола $y = x^2 + 1$ с вершиной в точке $(0; 1)$ и ветвями вверх, с выколотыми точками $(-2; 5)$ и $(2; 5)$.

б)

Дана кусочно-заданная функция: $y = \begin{cases} -1, & \text{если } x < -2 \text{ или } x > 2, \\ -x^2 + 3, & \text{если } -2 \le x \le 2. \end{cases}$
Построим график этой функции, рассматривая каждый участок отдельно.

1. На интервалах $(-\infty; -2)$ и $(2; +\infty)$ функция постоянна и равна $y = -1$.
Графиком на этих участках являются два горизонтальных луча.

• Луч $y = -1$ для $x < -2$. Он начинается в точке с абсциссой $x = -2$ и идет влево. Так как неравенство строгое, точка $(-2; -1)$ не принадлежит графику (является выколотой).
• Луч $y = -1$ для $x > 2$. Он начинается в точке с абсциссой $x = 2$ и идет вправо. Точка $(2; -1)$ также выколота.

2. На отрезке $[-2; 2]$ график функции совпадает с графиком параболы $y = -x^2 + 3$.
Это парабола, ветви которой направлены вниз.

• Координаты вершины параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2(-1)} = 0$; $y_0 = -(0)^2 + 3 = 3$. Вершина — точка $(0; 3)$. Так как $x=0$ принадлежит отрезку $[-2; 2]$, вершина является частью графика.
• Найдем значения функции на концах отрезка. Так как неравенство нестрогое ($-2 \le x \le 2$), эти точки будут "закрашенными":
  - при $x = -2$, $y = -(-2)^2 + 3 = -4 + 3 = -1$. Точка $(-2; -1)$.
  - при $x = 2$, $y = -(2)^2 + 3 = -4 + 3 = -1$. Точка $(2; -1)$.

3. Объединим все части на одной координатной плоскости. График состоит из фрагмента параболы $y = -x^2 + 3$ на отрезке $[-2; 2]$ и двух лучей $y = -1$.
Концевые точки параболы, $(-2; -1)$ и $(2; -1)$, являются закрашенными. Они совпадают с выколотыми начальными точками лучей. Таким образом, выколотые точки "заполняются" закрашенными, и функция становится непрерывной.

Ответ: График функции состоит из участка параболы $y = -x^2 + 3$ (с вершиной в точке $(0; 3)$ и ветвями вниз) на отрезке от $x = -2$ до $x = 2$, и двух горизонтальных лучей $y = -1$, идущих от точек $(-2; -1)$ влево до $-\infty$ и от точки $(2; -1)$ вправо до $+\infty$.