Номер 1032, страница 264 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Функции. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 1032, страница 264.

Условие.

1032. Докажите, что функция:

а) $y = x^3 + x$ возрастающая;

б) $y = \frac{1}{x} - x$ убывает на множестве положительных чисел.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для того чтобы доказать, что функция $y = x^3 + x$ является возрастающей, достаточно показать, что ее производная положительна для всех значений $x$.

Область определения функции — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$.

Найдём производную функции $y(x)$:

$y' = (x^3 + x)' = (x^3)' + (x)' = 3x^2 + 1$.

Проанализируем знак полученной производной. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$.

Умножив на 3, получим $3x^2 \ge 0$.

Прибавив 1, получим $3x^2 + 1 \ge 1$.

Таким образом, $y' = 3x^2 + 1 > 0$ для всех значений $x$.

Поскольку производная функции положительна на всей области определения, функция $y = x^3 + x$ является строго возрастающей.

Ответ: Функция $y = x^3 + x$ является возрастающей, так как ее производная $y' = 3x^2 + 1$ всегда положительна.

б) Для того чтобы доказать, что функция $y = \frac{1}{x} - x$ убывает на множестве положительных чисел, нужно показать, что ее производная отрицательна для всех $x > 0$.

Область определения функции — $x \ne 0$. Нас интересует поведение функции на множестве положительных чисел, то есть на интервале $(0; +\infty)$.

Найдём производную функции $y(x)$, представив её в виде $y = x^{-1} - x$:

$y' = (\frac{1}{x} - x)' = (x^{-1} - x)' = -1 \cdot x^{-2} - 1 = -\frac{1}{x^2} - 1$.

Проанализируем знак производной на множестве положительных чисел. Если $x > 0$, то $x^2$ также строго больше нуля: $x^2 > 0$.

Следовательно, дробь $\frac{1}{x^2}$ будет положительной: $\frac{1}{x^2} > 0$.

Тогда $-\frac{1}{x^2}$ будет отрицательной: $-\frac{1}{x^2} < 0$.

Вычитая из отрицательного числа единицу, мы получаем еще более отрицательное число:

$y' = -\frac{1}{x^2} - 1 < 0$ для всех $x > 0$.

Поскольку производная функции отрицательна на всём множестве положительных чисел, функция $y = \frac{1}{x} - x$ является убывающей на этом множестве.

Ответ: Функция $y = \frac{1}{x} - x$ убывает на множестве положительных чисел, так как ее производная $y' = -\frac{1}{x^2} - 1$ на этом множестве всегда отрицательна.