Номер 1039, страница 265 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Элементы статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 1039, страница 265.

Условие.

1039. Из 7 бегунов надо составить команду для участия в эстафете из 4 этапов: 500 м, 400 м, 200 м и 100 м. Сколькими способами это можно сделать?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения данной задачи необходимо определить, сколькими способами можно выбрать 4 бегунов из 7 и назначить каждого на один из 4 различных этапов эстафеты. Поскольку этапы эстафеты (500 м, 400 м, 200 м, 100 м) различаются, порядок выбора и расстановки спортсменов имеет значение. Следовательно, мы должны найти число размещений из 7 элементов по 4.

Это можно сделать двумя способами.

Способ 1: Использование правила умножения
1. На первый этап (500 м) можно выбрать любого из 7 бегунов. Остается 6 бегунов.
2. На второй этап (400 м) можно выбрать любого из оставшихся 6 бегунов. Остается 5 бегунов.
3. На третий этап (200 м) можно выбрать любого из оставшихся 5 бегунов. Остается 4 бегуна.
4. На четвертый этап (100 м) можно выбрать любого из оставшихся 4 бегунов.

Общее число способов равно произведению числа вариантов для каждого этапа:
$N = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$

Способ 2: Использование формулы размещений
Число размещений из $n$ элементов по $k$ элементов обозначается как $A_n^k$ и вычисляется по формуле:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
В нашем случае, общее число бегунов $n = 7$, а число этапов (и, соответственно, мест в команде) $k = 4$.

Подставим значения в формулу:
$A_7^4 = \frac{7!}{(7-4)!} = \frac{7!}{3!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 840