Номер 1037, страница 265 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Элементы статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 1037, страница 265.

Условие.

1037. Сколькими способами из 10 учащихся можно составить две команды для игры в баскетбол?

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения этой задачи нужно определить, сколькими способами можно разделить группу из 10 человек на две равные группы по 5 человек, так как для игры в баскетбол нужны две команды по 5 игроков.

Сначала выберем 5 учащихся для первой команды из 10. Порядок выбора игроков в команду не важен, поэтому мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В данном случае $n=10$ (общее число учащихся) и $k=5$ (число игроков в одной команде).

Число способов сформировать первую команду:$C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2 \times 9 \times 2 \times 7 = 252$.

После того как первая команда из 5 человек сформирована, оставшиеся 5 человек автоматически образуют вторую команду. Число способов выбрать 5 человек из оставшихся 5 равно $C_5^5 = 1$.

Таким образом, есть 252 способа выбрать первую команду и, соответственно, вторую. Однако в условии задачи команды не различаются (нет «команды 1» и «команды 2»). Выбор группы {A, B, C, D, E} для первой команды и {F, G, H, I, J} для второй — это то же самое, что и выбор {F, G, H, I, J} для первой и {A, B, C, D, E} для второй. Мы посчитали каждый вариант дважды.

Чтобы исключить это дублирование, нужно разделить полученное число способов на 2 (количество перестановок двух команд).

Искомое количество способов = $\frac{C_{10}^5}{2} = \frac{252}{2} = 126$.

Ответ: 126.