Номер 1029, страница 264 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Функции. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 1029, страница 264.

Условие.

1029. Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, переменная $r$, а острый угол трапеции равен $30^\circ$. Выразите площадь этой трапеции как функцию аргумента $r$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которую вписана окружность радиуса $r$. Пусть $AB$ — боковая сторона, перпендикулярная основаниям $AD$ и $BC$, а $CD$ — другая боковая сторона. Углы $\angle A$ и $\angle B$ — прямые, а острый угол $\angle D$ по условию равен $30^\circ$.

Нахождение высоты трапеции
Высота прямоугольной трапеции равна её боковой стороне, перпендикулярной основаниям, то есть $h = AB$. Поскольку в трапецию можно вписать окружность, её высота равна диаметру этой окружности.
$h = AB = 2r$.

Нахождение наклонной боковой стороны
Проведём из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. В полученном прямоугольном треугольнике $CHD$ катет $CH$ равен высоте трапеции, $CH = 2r$, а угол $\angle D = 30^\circ$.
Используя определение синуса в прямоугольном треугольнике, найдём гипотенузу $CD$:
$sin(\angle D) = \frac{CH}{CD}$
$sin(30^\circ) = \frac{2r}{CD}$
$\frac{1}{2} = \frac{2r}{CD}$
Отсюда, наклонная боковая сторона $CD = 4r$.

Использование свойства описанного четырехугольника
Для четырехугольника, в который можно вписать окружность, справедливо свойство равенства сумм длин противоположных сторон. Для нашей трапеции:
$AB + CD = AD + BC$
Подставим известные нам длины сторон $AB=2r$ и $CD=4r$:
$2r + 4r = AD + BC$
Следовательно, сумма оснований трапеции равна $AD + BC = 6r$.

Выражение площади трапеции как функции от r
Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле:
$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$
Подставим в формулу найденную сумму оснований $AD + BC = 6r$ и высоту $h = 2r$:
$S(r) = \frac{6r}{2} \cdot 2r = 3r \cdot 2r = 6r^2$.

Ответ: $S(r) = 6r^2$.