Номер 1023, страница 263 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Функции. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 1023, страница 263.

Условие.

1023. a) Гипотенуза прямоугольного треугольника – переменная $c$, а один из его острых углов равен $15^\circ$. Выразите площадь этого треугольника как функцию аргумента $c$.

б) Токарю по плану надо изготовить за смену 60 деталей. Он перевыполнил план на $x$ %. Составьте формулу, выражающую зависимость числа $y$ изготовленных токарем деталей от $x$. Найдите по этой формуле: 1) значение $y$, если $x = 10$; 2) значение $x$, если $y = 72$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Пусть в прямоугольном треугольнике катеты равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. Один из острых углов равен $15^\circ$. Обозначим этот угол как $\alpha = 15^\circ$. Катеты можно выразить через гипотенузу $c$ и угол $\alpha$ с помощью тригонометрических функций. Пусть катет $a$ прилежит к углу $\alpha$, а катет $b$ противолежит ему.
$a = c \cdot \cos(15^\circ)$
$b = c \cdot \sin(15^\circ)$
Площадь прямоугольного треугольника $S$ равна половине произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2}ab$
Подставим выражения для $a$ и $b$ в формулу площади:
$S = \frac{1}{2}(c \cdot \cos(15^\circ))(c \cdot \sin(15^\circ)) = \frac{1}{2}c^2\sin(15^\circ)\cos(15^\circ)$
Используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$. Из нее следует, что $\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{\sin(2\alpha)}{2}$.
В нашем случае $\alpha = 15^\circ$, поэтому $2\alpha = 30^\circ$.
$S = \frac{1}{2}c^2 \left(\frac{\sin(30^\circ)}{2}\right) = \frac{c^2 \sin(30^\circ)}{4}$
Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, подставим это значение:
$S = \frac{c^2 \cdot \frac{1}{2}}{4} = \frac{c^2}{8}$
Таким образом, площадь треугольника $S$ как функция аргумента $c$ выражается формулой $S(c) = \frac{c^2}{8}$.
Ответ: $S(c) = \frac{c^2}{8}$

б) По плану токарь должен изготовить 60 деталей. Он перевыполнил план на $x\%$. Количество деталей, изготовленных сверх плана, составляет $x\%$ от 60, то есть $\frac{x}{100} \cdot 60 = 0.6x$ деталей.
Общее число изготовленных деталей $y$ равно сумме планового количества и количества, изготовленного сверх плана:
$y = 60 + 0.6x$
Это и есть искомая формула, выражающая зависимость $y$ от $x$.
Теперь найдем значения по этой формуле.
1) Найдем значение $y$, если $x = 10$.
Подставляем $x = 10$ в формулу:
$y = 60 + 0.6 \cdot 10 = 60 + 6 = 66$.
2) Найдем значение $x$, если $y = 72$.
Подставляем $y = 72$ в формулу:
$72 = 60 + 0.6x$
$0.6x = 72 - 60$
$0.6x = 12$
$x = \frac{12}{0.6} = 20$.
Ответ: Формула: $y = 60 + 0.6x$. 1) если $x = 10$, то $y = 66$; 2) если $y = 72$, то $x = 20$.