Номер 1018, страница 262 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Функции. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 1018, страница 262.

Условие.

1018. Найдите координаты вершины параболы, фрагмент которой изображен на рисунке 82.

Рисунок 82

Решение.

Решение 2 (rus).

Для нахождения координат вершины параболы $(x_v, y_v)$ воспользуемся свойствами параболы и данными с графика.

1. Нахождение абсциссы вершины ($x_v$). Парабола симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через ее вершину. На графике мы видим две точки, симметричные относительно оси симметрии параболы, с одинаковой ординатой $y=3$: это точки с координатами $(1, 3)$ и $(3, 3)$. Абсцисса вершины параболы $x_v$ находится ровно посередине между абсциссами этих точек.

$x_v = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Таким образом, абсцисса вершины равна 2.

2. Нахождение ординаты вершины ($y_v$). Для этого найдем уравнение параболы. Общий вид уравнения параболы, проходящей через точки с известными корнями $x_1$ и $x_2$, имеет вид $y = a(x - x_1)(x - x_2)$.

Из графика видно, что парабола пересекает ось Ox в точках $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$. Подставим эти значения в уравнение:

$y = a(x - 0)(x - 4) = ax(x-4)$.

Чтобы найти коэффициент $a$, используем еще одну точку, принадлежащую параболе, например, точку $(1, 3)$. Подставим ее координаты в полученное уравнение:

$3 = a \cdot 1 \cdot (1 - 4)$

$3 = a \cdot (-3)$

$a = -1$

Итак, уравнение нашей параболы: $y = -1 \cdot x(x-4)$, или $y = -x^2 + 4x$.

Теперь найдем ординату вершины $y_v$, подставив значение $x_v = 2$ в уравнение параболы:

$y_v = -(2)^2 + 4 \cdot 2 = -4 + 8 = 4$.

Координаты вершины параболы равны $(2, 4)$.

Ответ: $(2, 4)$