Номер 1015, страница 262 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Функции. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 1015, страница 262.

Условие.

1015. Среди функций $y = 4x + 5$, $y = x^2$, $y = x^3$, $y = -\frac{4}{x}$, $y = -8x + 2$, $y = -\sqrt{x}$ укажите:

а) возрастающие;

б) убывающие на всей области определения.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) возрастающие

Функция является возрастающей на всей своей области определения, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этой области, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.
Проанализируем каждую из заданных функций:

1. $y = 4x + 5$ — это линейная функция вида $y=kx+b$. Её угловой коэффициент $k=4$. Так как $k > 0$, функция возрастает на всей своей области определения, то есть на $(-\infty; +\infty)$.

2. $y = x^2$ — это квадратичная функция. Её график — парабола, ветви которой направлены вверх. Эта функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. Следовательно, она не является возрастающей на всей области определения.

3. $y = x^3$ — это кубическая функция. Она возрастает на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$, так как для любых действительных чисел $x_1 < x_2$ всегда выполняется неравенство $x_1^3 < x_2^3$.

4. $y = -\frac{4}{x}$ — это обратная пропорциональность. Её область определения $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Функция возрастает на каждом из интервалов $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$ по отдельности. Однако она не является возрастающей на всей области определения, так как можно выбрать, например, $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Тогда $x_1 < x_2$, но $y(-1) = 4$, а $y(1) = -4$, то есть $y(x_1) > y(x_2)$.

5. $y = -8x + 2$ — это линейная функция с угловым коэффициентом $k=-8$. Так как $k < 0$, функция является убывающей.

6. $y = -\sqrt{x}$ — эта функция является убывающей на всей своей области определения $[0; +\infty)$.

Таким образом, возрастающими на всей своей области определения являются две функции.
Ответ: $y=4x+5, y=x^3$.

б) убывающие на всей области определения

Функция является убывающей на всей своей области определения, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этой области, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.
На основе анализа, проведенного в пункте (а), выберем убывающие функции:

1. $y = -8x + 2$ — это линейная функция с угловым коэффициентом $k=-8$. Поскольку $k < 0$, функция убывает на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$.

2. $y = -\sqrt{x}$ — область определения этой функции $[0; +\infty)$. Для любых $x_1, x_2$ из этой области, таких что $x_1 < x_2$, выполняется $\sqrt{x_1} < \sqrt{x_2}$, а значит $-\sqrt{x_1} > -\sqrt{x_2}$. Следовательно, $y(x_1) > y(x_2)$, и функция является убывающей на всей своей области определения.

Остальные функции либо возрастающие ($y=4x+5, y=x^3$), либо не являются монотонными на всей области определения ($y=x^2, y=-\frac{4}{x}$).
Ответ: $y=-8x+2, y=-\sqrt{x}$.