Номер 1022, страница 263 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Функции. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 1022, страница 263.

Условие.

1022. Решите графически систему уравнений:

a)

$ \begin{cases} y + x = 6, \\ y = |x^2 - 8x + 12|; \end{cases} $

б)

$ \begin{cases} xy = 4, \\ y = \sqrt{x + 2}; \end{cases} $

в)

$ \begin{cases} y + |x| = 2, \\ y = x^2 + 6x + 8. \end{cases} $

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Для решения системы уравнений графически построим графики каждой функции на одной координатной плоскости. Решениями системы будут координаты точек пересечения этих графиков.

1. Первое уравнение: $y + x = 6$, или $y = -x + 6$. Это уравнение прямой линии. Для ее построения достаточно двух точек. Например, если $x = 0$, то $y = 6$ (точка (0; 6)), и если $x = 6$, то $y = 0$ (точка (6; 0)).

2. Второе уравнение: $y = |x^2 - 8x + 12|$. Чтобы построить этот график, сначала построим параболу $y = x^2 - 8x + 12$.
• Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен.
• Найдем вершину параболы: $x_0 = -b / (2a) = -(-8) / (2 \cdot 1) = 4$. $y_0 = 4^2 - 8(4) + 12 = 16 - 32 + 12 = -4$. Вершина находится в точке (4; -4).
• Найдем нули функции (точки пересечения с осью Ox), решив уравнение $x^2 - 8x + 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$. Точки пересечения с осью Ox: (2; 0) и (6; 0).
• График функции $y = |x^2 - 8x + 12|$ получается из графика параболы $y = x^2 - 8x + 12$ следующим образом: часть параболы, которая находится ниже оси Ox (где $y < 0$), симметрично отражается относительно оси Ox. В данном случае это часть параболы на интервале $x \in (2; 6)$. Вершина (4; -4) перейдет в точку (4; 4).

3. Построим оба графика на одной плоскости. Прямая $y = -x + 6$ пересекает график $y = |x^2 - 8x + 12|$ в трех точках.

Координаты точек пересечения: (1; 5), (3; 3), (6; 0).

Ответ: (1; 5), (3; 3), (6; 0).

б)

Построим графики функций, заданных уравнениями системы.

1. Первое уравнение: $xy = 4$, или $y = 4/x$. Это уравнение гиперболы. Ее ветви расположены в I и III координатных четвертях. Асимптоты — оси координат.

2. Второе уравнение: $y = \sqrt{x + 2}$. Это график функции $y = \sqrt{x}$, смещенный на 2 единицы влево вдоль оси Ox. Область определения функции: $x + 2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$. Область значений: $y \ge 0$. График начинается в точке (-2; 0) и идет вправо вверх.

3. Построим оба графика в одной системе координат. Так как для графика $y = \sqrt{x + 2}$ значения $y$ всегда неотрицательны, пересечение возможно только с той ветвью гиперболы, которая лежит в I координатной четверти (где $x > 0$ и $y > 0$).

Найдем точку пересечения графиков. Из графиков видно, что они пересекаются в одной точке. Подберем ее координаты. Пусть $x = 2$, тогда для первой функции $y = 4/2 = 2$, а для второй $y = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2$. Точка (2; 2) принадлежит обоим графикам.

Координаты точки пересечения: (2; 2).

Ответ: (2; 2).

в)

Построим графики функций, заданных уравнениями системы, и найдем их точки пересечения.

1. Первое уравнение: $y + |x| = 2$, или $y = 2 - |x|$. График этой функции состоит из двух лучей:
• При $x \ge 0$, $|x| = x$, и уравнение принимает вид $y = 2 - x$. Это луч, выходящий из точки (0; 2) и проходящий через точку (2; 0).
• При $x < 0$, $|x| = -x$, и уравнение принимает вид $y = 2 - (-x) = 2 + x$. Это луч, выходящий из точки (0; 2) и проходящий через точку (-2; 0).
В итоге получаем "перевернутую галку" с вершиной в точке (0; 2).

2. Второе уравнение: $y = x^2 + 6x + 8$. Это парабола, ветви которой направлены вверх.
• Найдем вершину параболы: $x_0 = -6 / (2 \cdot 1) = -3$. $y_0 = (-3)^2 + 6(-3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1$. Вершина находится в точке (-3; -1).
• Найдем нули функции (точки пересечения с осью Ox), решив уравнение $x^2 + 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = -4$. Точки пересечения с осью Ox: (-2; 0) и (-4; 0).

3. Построим оба графика в одной системе координат. Заметим, что обе точки пересечения находятся в области, где $x < 0$, то есть они лежат на луче $y = 2 + x$.
Вершина параболы (-3; -1) является точкой пересечения, так как ее координаты удовлетворяют уравнению луча: $-1 = 2 + (-3)$.
Точка (-2; 0) также является общей, так как это корень параболы и она лежит на луче $y = 2 + x$: $0 = 2 + (-2)$.

Координаты точек пересечения: (-3; -1), (-2; 0).

Ответ: (-3; -1), (-2; 0).