Номер 1017, страница 262 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Функции. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 1017, страница 262.

Условие.

1017. Найдите координаты вершины параболы и множество значений функции:

а) $y = x^2 - 4x + 8$;

б) $y = -x^2 + 6x + 7$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Для функции $y = x^2 - 4x + 8$.

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a = 1$, $b = -4$, $c = 8$. Графиком является парабола.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ можно найти по формулам:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

$y_0 = y(x_0)$

Вычислим абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.

Теперь подставим значение $x_0 = 2$ в уравнение функции, чтобы найти ординату вершины:

$y_0 = (2)^2 - 4(2) + 8 = 4 - 8 + 8 = 4$.

Таким образом, координаты вершины параболы равны $(2, 4)$.

Чтобы найти множество значений функции, нужно определить направление ветвей параболы. Так как коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Это значит, что в вершине парабола достигает своего минимального значения.

Минимальное значение функции равно ординате вершины, то есть $y_{min} = 4$.

Следовательно, множество значений функции (область значений) — это все числа от 4 включительно до плюс бесконечности.

Ответ: координаты вершины $(2, 4)$; множество значений функции $E(y) = [4, +\infty)$.

б) Для функции $y = -x^2 + 6x + 7$.

Это квадратичная функция, где $a = -1$, $b = 6$, $c = 7$. Графиком является парабола.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.

Вычислим абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3$.

Подставим значение $x_0 = 3$ в уравнение функции, чтобы найти ординату вершины:

$y_0 = -(3)^2 + 6(3) + 7 = -9 + 18 + 7 = 16$.

Таким образом, координаты вершины параболы равны $(3, 16)$.

Для определения множества значений функции посмотрим на знак коэффициента $a$. Так как $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Это значит, что в вершине парабола достигает своего максимального значения.

Максимальное значение функции равно ординате вершины, то есть $y_{max} = 16$.

Следовательно, множество значений функции — это все числа от минус бесконечности до 16 включительно.

Ответ: координаты вершины $(3, 16)$; множество значений функции $E(y) = (-\infty, 16]$.