Номер 1019, страница 262 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Функции. Повторение курса алгебры 7-9 классов - номер 1019, страница 262.

Условие.

1019. Найдите область определения функции:

а) $y = \sqrt{1 - x};$

б) $y = \frac{7}{x^2 - 16};$

в) $y = \sqrt{\frac{3 - x}{x^2}};$

г) $y = \frac{\sqrt{25 - x^2}}{x^2 - x - 12}.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Область определения функции $y=\sqrt{1-x}$ задается условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
Запишем и решим соответствующее неравенство:
$1-x \ge 0$
$-x \ge -1$
$x \le 1$
Таким образом, область определения функции — это все числа, меньшие или равные 1.
Ответ: $(-\infty; 1]$.

б) Область определения функции $y=\frac{7}{x^2-16}$ задается условием, что знаменатель дроби не должен равняться нулю.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:
$x^2-16 = 0$
$x^2 = 16$
$x_1 = 4$, $x_2 = -4$
Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме -4 и 4.
Ответ: $(-\infty; -4) \cup (-4; 4) \cup (4; +\infty)$.

в) Для функции $y=\sqrt{\frac{3-x}{x^2}}$ должны выполняться два условия: выражение под знаком корня должно быть неотрицательным, и знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Это приводит к системе условий:
$\begin{cases} \frac{3-x}{x^2} \ge 0 \\ x^2 \neq 0 \end{cases}$
Из второго условия следует, что $x \neq 0$.
Для решения первого неравенства заметим, что знаменатель $x^2$ всегда положителен при $x \neq 0$. Поэтому знак всей дроби зависит только от знака числителя.
$3-x \ge 0$
$x \le 3$
Объединяя оба условия ($x \le 3$ и $x \neq 0$), получаем область определения.
Ответ: $(-\infty; 0) \cup (0; 3]$.

г) Область определения функции $y=\frac{\sqrt{25-x^2}}{x^2-x-12}$ определяется системой из двух условий: подкоренное выражение в числителе должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен равняться нулю.
$\begin{cases} 25-x^2 \ge 0 \\ x^2-x-12 \neq 0 \end{cases}$
1. Решим первое неравенство:
$25-x^2 \ge 0$
$(5-x)(5+x) \ge 0$
Методом интервалов находим, что решением является отрезок $[-5; 5]$.
2. Решим второе условие. Найдем корни квадратного уравнения $x^2-x-12=0$ с помощью теоремы Виета:
$x_1 + x_2 = 1$
$x_1 \cdot x_2 = -12$
Корнями являются $x_1=4$ и $x_2=-3$. Значит, $x \neq 4$ и $x \neq -3$.
3. Теперь необходимо из отрезка $[-5; 5]$ исключить точки -3 и 4. Обе точки принадлежат этому отрезку.
Итоговая область определения представляет собой объединение промежутков.
Ответ: $[-5; -3) \cup (-3; 4) \cup (4; 5]$.