Номер 22, страница 297 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы. Тренировочные упражнения - номер 22, страница 297.

Условие.

22. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 4 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода. Через 30 минут им осталось пройти до встречи 500 м. Если бы пешеход из пункта В вышел на 10 минут позже, то встреча произошла бы на середине пути. С какой скоростью шел каждый пешеход?

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть $v_A$ км/ч — скорость пешехода, вышедшего из пункта А, и $v_B$ км/ч — скорость пешехода, вышедшего из пункта В. Расстояние между пунктами A и B составляет 4 км.

Согласно первому условию, пешеходы вышли одновременно, и через 30 минут (0,5 часа) им осталось пройти до встречи 500 м (0,5 км). Это означает, что за 0,5 часа они вместе прошли расстояние $4 \text{ км} - 0,5 \text{ км} = 3,5 \text{ км}$. Составим первое уравнение на основе формулы пути $S = v \cdot t$, где $v$ — это скорость сближения $(v_A + v_B)$:

$(v_A + v_B) \cdot 0,5 = 3,5$

Разделив обе части на 0,5, получим:

$v_A + v_B = 7$

Согласно второму условию, если бы пешеход из пункта В вышел на 10 минут ($10/60 = 1/6$ часа) позже, то встреча произошла бы на середине пути, то есть на расстоянии 2 км от каждого из пунктов. Время, которое пешеход из А затратил бы на прохождение 2 км, равно $t_A = \frac{2}{v_A}$. Время, которое пешеход из В затратил бы на прохождение 2 км, равно $t_B = \frac{2}{v_B}$. Поскольку пешеход из А был бы в пути на 10 минут дольше, получаем второе уравнение:

$t_A = t_B + \frac{1}{6}$

$\frac{2}{v_A} = \frac{2}{v_B} + \frac{1}{6}$

Теперь решим систему из двух полученных уравнений:

$\begin{cases} v_A + v_B = 7 \\ \frac{2}{v_A} = \frac{2}{v_B} + \frac{1}{6} \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_B$: $v_B = 7 - v_A$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{2}{v_A} = \frac{2}{7 - v_A} + \frac{1}{6}$

Перенесем дробь с переменной в левую часть:

$\frac{2}{v_A} - \frac{2}{7 - v_A} = \frac{1}{6}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{2(7 - v_A) - 2v_A}{v_A(7 - v_A)} = \frac{1}{6}$

$\frac{14 - 2v_A - 2v_A}{7v_A - v_A^2} = \frac{1}{6}$

$\frac{14 - 4v_A}{7v_A - v_A^2} = \frac{1}{6}$

Используя свойство пропорции, преобразуем уравнение:

$6(14 - 4v_A) = 7v_A - v_A^2$

$84 - 24v_A = 7v_A - v_A^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$v_A^2 - 24v_A - 7v_A + 84 = 0$

$v_A^2 - 31v_A + 84 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-31)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 84 = 961 - 336 = 625$

$\sqrt{D} = 25$

Найдем корни уравнения для $v_A$:

$v_{A1} = \frac{31 + 25}{2} = \frac{56}{2} = 28$

$v_{A2} = \frac{31 - 25}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Рассмотрим полученные значения. Скорость пешехода не может быть 28 км/ч, так как это нереалистично, и в этом случае скорость второго пешехода $v_B = 7 - 28 = -21$ км/ч, что невозможно. Следовательно, единственный подходящий корень — $v_A = 3$ км/ч.Тогда скорость второго пешехода будет:

$v_B = 7 - v_A = 7 - 3 = 4$ км/ч.

Проверим решение:1. Сумма скоростей $3+4=7$ км/ч. За 0,5 часа они пройдут $7 \cdot 0,5 = 3,5$ км. Останется $4-3,5=0,5$ км. Условие выполнено.2. Время пешехода из А до середины пути (2 км): $t_A = 2/3$ ч. Время пешехода из В до середины пути (2 км): $t_B = 2/4 = 1/2$ ч. Разница во времени: $t_A - t_B = 2/3 - 1/2 = 4/6 - 3/6 = 1/6$ ч, что составляет 10 минут. Условие выполнено.

Ответ: скорость пешехода, вышедшего из пункта А, составляет 3 км/ч, а скорость пешехода, вышедшего из пункта В, — 4 км/ч.