Номер 21, страница 297 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы. Тренировочные упражнения - номер 21, страница 297.

Условие.

21. Если от числителя и знаменателя обыкновенной дроби отнять по единице, то дробь уменьшится на $ \frac{5}{56} $. Если же к числителю и знаменателю прибавить по единице, то дробь увеличится на $ \frac{5}{72} $. Найдите эту дробь.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть искомая обыкновенная дробь имеет вид $\frac{x}{y}$, где $x$ – числитель, а $y$ – знаменатель.

Согласно первому условию задачи, если от числителя и знаменателя отнять по единице, то дробь уменьшится на $\frac{5}{56}$. Составим первое уравнение:

$\frac{x}{y} - \frac{x-1}{y-1} = \frac{5}{56}$

Согласно второму условию, если к числителю и знаменателю прибавить по единице, то дробь увеличится на $\frac{5}{72}$. Составим второе уравнение:

$\frac{x+1}{y+1} - \frac{x}{y} = \frac{5}{72}$

Мы получили систему из двух уравнений. Упростим каждое из них.

Упростим первое уравнение, приведя левую часть к общему знаменателю:

$\frac{x(y-1) - y(x-1)}{y(y-1)} = \frac{xy - x - xy + y}{y(y-1)} = \frac{y-x}{y(y-1)}$

Таким образом, первое уравнение принимает вид:

$\frac{y-x}{y(y-1)} = \frac{5}{56}$

Теперь упростим второе уравнение:

$\frac{y(x+1) - x(y+1)}{y(y+1)} = \frac{xy + y - xy - x}{y(y+1)} = \frac{y-x}{y(y+1)}$

Таким образом, второе уравнение принимает вид:

$\frac{y-x}{y(y+1)} = \frac{5}{72}$

Теперь наша система уравнений выглядит так:

$\begin{cases} \frac{y-x}{y(y-1)} = \frac{5}{56} \\ \frac{y-x}{y(y+1)} = \frac{5}{72} \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y-x$: $y-x = \frac{5y(y-1)}{56}$.

Из второго уравнения также выразим $y-x$: $y-x = \frac{5y(y+1)}{72}$.

Приравняем правые части полученных выражений:

$\frac{5y(y-1)}{56} = \frac{5y(y+1)}{72}$

Поскольку $y$ является знаменателем дроби, $y \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $5y$:

$\frac{y-1}{56} = \frac{y+1}{72}$

Решим это уравнение с помощью перекрестного умножения:

$72(y-1) = 56(y+1)$

$72y - 72 = 56y + 56$

$72y - 56y = 56 + 72$

$16y = 128$

$y = \frac{128}{16} = 8$

Теперь, зная значение $y$, найдем $x$. Подставим $y=8$ в одно из упрощенных уравнений, например, в $\frac{y-x}{y(y+1)} = \frac{5}{72}$:

$\frac{8-x}{8(8+1)} = \frac{5}{72}$

$\frac{8-x}{8 \cdot 9} = \frac{5}{72}$

$\frac{8-x}{72} = \frac{5}{72}$

Отсюда следует, что $8-x=5$, значит $x=3$.

Таким образом, искомая дробь равна $\frac{3}{8}$.

Ответ: $\frac{3}{8}$