Номер 11, страница 20, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Неравенства. Параграф 3. Сложение и умножение числовых неравенств. Оценивание значения выражения - номер 11, страница 20.

Условие.

11. Сравните значения выражений.

1) $3^{15}$ и $28^5$

Решение.

Имеем: $3^{15} = (3^3)^5 = $

Ответ: $3^{15}$ $28^5$.

2) $6^{10}$ и $2^{25}$

Решение.

Ответ: $6^{10}$ $2^{25}$.

Решение.

1) $3^{15}$ и $28^5$

Решение.
Чтобы сравнить значения выражений, приведем их к общему показателю степени. Наибольший общий делитель для показателей 15 и 5 это 5. Поэтому приведем степень $3^{15}$ к показателю 5.
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:
$3^{15} = 3^{3 \cdot 5} = (3^3)^5 = 27^5$.
Теперь сравним полученное выражение $27^5$ с $28^5$.
Так как показатели степеней одинаковы, а основание $27 < 28$, то и значение выражения $27^5$ меньше, чем $28^5$.
Следовательно, $3^{15} < 28^5$.
Ответ: $3^{15} < 28^5$.

2) $6^{10}$ и $2^{25}$

Решение.
Для сравнения этих выражений также приведем их к общему показателю степени. Найдем наибольший общий делитель для показателей 10 и 25. НОД(10, 25) = 5.
Теперь представим каждое из выражений в виде степени с показателем 5:
$6^{10} = 6^{2 \cdot 5} = (6^2)^5 = 36^5$.
$2^{25} = 2^{5 \cdot 5} = (2^5)^5 = 32^5$.
Теперь сравним полученные выражения $36^5$ и $32^5$.
Поскольку показатели степеней равны, а основание $36 > 32$, то значение выражения $36^5$ больше, чем $32^5$.
Следовательно, $6^{10} > 2^{25}$.
Ответ: $6^{10} > 2^{25}$.