Номер 12, страница 20, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Неравенства. Параграф 3. Сложение и умножение числовых неравенств. Оценивание значения выражения - номер 12, страница 20.

Условие.

12. Найдите наибольшее значение выражения $\frac{a^2}{b-2}$, если $2 \le a \le 3$ и $5 \le b \le 6$.

Решение.

Поскольку $2 \le a \le 3$, то $4 \le a^2 \le 9$

Поскольку $5 \le b \le 6$, то $3 \le b-2 \le 4$; $\frac{1}{4} \le \frac{1}{b-2} \le \frac{1}{3}$

Имеем:
$4 \le a^2 \le 9$
$\times$
$\frac{1}{4} \le \frac{1}{b-2} \le \frac{1}{3}$
$1 \le \frac{a^2}{b-2} \le 3$

Ответ: $3$

Решение.

Для нахождения наибольшего значения дроби $\frac{a^2}{b-2}$ необходимо найти наибольшее значение числителя $a^2$ и наименьшее значение знаменателя $b-2$, поскольку все переменные находятся в области положительных чисел.

Поскольку $2 \le a \le 3$, то
возведем все части этого неравенства в квадрат. Так как $a$ принимает только положительные значения, знак неравенства сохраняется:
$2^2 \le a^2 \le 3^2$
$4 \le a^2 \le 9$.
Таким образом, наибольшее значение $a^2$ равно 9.

Поскольку $5 \le b \le 6$, то
вычтем 2 из всех частей неравенства, чтобы оценить знаменатель $b-2$:
$5 - 2 \le b - 2 \le 6 - 2$
$3 \le b - 2 \le 4$.
Таким образом, наименьшее значение $b-2$ равно 3.

Имеем:
Наибольшее значение выражения $\frac{a^2}{b-2}$ достигается при максимальном значении числителя и минимальном значении знаменателя.
$\text{max} \left(\frac{a^2}{b-2}\right) = \frac{\text{max}(a^2)}{\text{min}(b-2)} = \frac{9}{3} = 3$.

Также можно выполнить оценку всего выражения. Из неравенства $3 \le b-2 \le 4$ следует, что $\frac{1}{4} \le \frac{1}{b-2} \le \frac{1}{3}$. Теперь, перемножим почленно неравенства $4 \le a^2 \le 9$ и $\frac{1}{4} \le \frac{1}{b-2} \le \frac{1}{3}$, так как все их части положительны:
$4 \cdot \frac{1}{4} \le a^2 \cdot \frac{1}{b-2} \le 9 \cdot \frac{1}{3}$
$1 \le \frac{a^2}{b-2} \le 3$.
Из этого неравенства видно, что наибольшее значение выражения равно 3.

Ответ: 3.