Номер 14, страница 21, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Неравенства. Параграф 3. Сложение и умножение числовых неравенств. Оценивание значения выражения - номер 14, страница 21.

Условие.

14. Сравните.

1) $\sqrt{51} - \sqrt{23}$ и 2

Решение.

Имеем: $\sqrt{51} > 7$, $\sqrt{23} < 5$, $-\sqrt{23} > $

, $\sqrt{51} + (-\sqrt{23}) > 7 +$

Ответ: $\sqrt{51} - \sqrt{23}$ ______ 2.

2) $\sqrt{140} - \sqrt{38}$ и 6

Решение.

Ответ: $\sqrt{140} - \sqrt{38}$ ______ 6.

Решение.

1) $\sqrt{51} - \sqrt{23}$ и 2

Для того чтобы сравнить выражение $\sqrt{51} - \sqrt{23}$ с числом $2$, оценим значения корней, найдя ближайшие к подкоренным выражениям квадраты целых чисел.
Для $\sqrt{51}$: мы знаем, что $7^2 = 49$ и $8^2 = 64$. Так как $49 < 51$, то и $\sqrt{49} < \sqrt{51}$, следовательно, $\sqrt{51} > 7$.
Для $\sqrt{23}$: мы знаем, что $4^2 = 16$ и $5^2 = 25$. Так как $23 < 25$, то и $\sqrt{23} < \sqrt{25}$, следовательно, $\sqrt{23} < 5$.
Чтобы использовать это неравенство в вычитании, умножим обе его части на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный: $-\sqrt{23} > -5$.
Теперь у нас есть система из двух неравенств:
$\sqrt{51} > 7$
$-\sqrt{23} > -5$
Сложим левые и правые части этих неравенств:
$\sqrt{51} + (-\sqrt{23}) > 7 + (-5)$
$\sqrt{51} - \sqrt{23} > 2$
Таким образом, значение выражения $\sqrt{51} - \sqrt{23}$ больше 2.

Ответ: $\sqrt{51} - \sqrt{23} > 2$.

2) $\sqrt{140} - \sqrt{38}$ и 6

Чтобы сравнить выражение $\sqrt{140} - \sqrt{38}$ с числом $6$, также воспользуемся методом оценки.
Оценим значение каждого корня, сравнивая подкоренные выражения с ближайшими полными квадратами.
Для $\sqrt{140}$: известно, что $11^2 = 121$ и $12^2 = 144$. Поскольку $140 < 144$, то $\sqrt{140} < \sqrt{144}$, а значит, $\sqrt{140} < 12$.
Для $\sqrt{38}$: известно, что $6^2 = 36$ и $7^2 = 49$. Поскольку $38 > 36$, то $\sqrt{38} > \sqrt{36}$, а значит, $\sqrt{38} > 6$.
Умножим обе части второго неравенства на $-1$, не забывая поменять знак неравенства на противоположный: $-\sqrt{38} < -6$.
Теперь сложим полученные неравенства:
$\sqrt{140} < 12$
$-\sqrt{38} < -6$
Сложив левые и правые части, получим:
$\sqrt{140} + (-\sqrt{38}) < 12 + (-6)$
$\sqrt{140} - \sqrt{38} < 6$
Следовательно, значение выражения $\sqrt{140} - \sqrt{38}$ меньше 6.

Ответ: $\sqrt{140} - \sqrt{38} < 6$.