Номер 4, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Неравенства. Параграф 4. Неравенства с одной переменной - номер 4, страница 23.

Условие.

4. Поставьте в пустой клетке знак «+», если множеством решений неравенства является множество R, или знак «–», если множеством решений неравенства является пустое множество.

1) $0x > -10$

2) $0x > 0$

3) $x + 4 > 0$

4) $\sqrt{x} < 0$

5) $\frac{x^2 + 2}{x^2 + 1} > 0$

6) $|x| \ge x$

7) $x^2 + 1 \ge 1$

8) $\frac{1}{x^2} > 0$

Решение.

1) Рассмотрим неравенство $0x > -10$. Левая часть неравенства, $0 \cdot x$, равна $0$ при любом действительном значении $x$. Таким образом, неравенство сводится к верному числовому неравенству $0 > -10$. Поскольку это утверждение истинно, решением неравенства является любое действительное число. Множество решений — $R$.
Ответ: +

2) Рассмотрим неравенство $0x > 0$. Левая часть неравенства, $0 \cdot x$, равна $0$ при любом действительном значении $x$. Таким образом, неравенство сводится к неверному числовому неравенству $0 > 0$. Поскольку это утверждение ложно, неравенство не имеет решений. Множество решений — пустое множество ($\emptyset$).
Ответ: –

3) Решим неравенство $x + 4 > 0$. Перенеся $4$ в правую часть, получим $x > -4$. Множеством решений этого неравенства является интервал $(-4, +\infty)$. Это множество не является ни множеством всех действительных чисел $R$, ни пустым множеством $\emptyset$. Согласно условию, для данного неравенства нельзя поставить ни знак «+», ни знак «–».
Ответ: Знак поставить нельзя.

4) Рассмотрим неравенство $\sqrt{x} < 0$. По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$ для любого допустимого значения $x$ (то есть $x \ge 0$) является неотрицательным числом, $\sqrt{x} \ge 0$. Следовательно, неравенство $\sqrt{x} < 0$ не может быть выполнено ни при каком значении $x$. Множество решений — пустое множество ($\emptyset$).
Ответ: –

5) Рассмотрим неравенство $\frac{x^2 + 2}{x^2 + 1} > 0$. Для любого действительного числа $x$ выполняется $x^2 \ge 0$. Тогда числитель дроби $x^2 + 2 \ge 2$, то есть он всегда положителен. Знаменатель дроби $x^2 + 1 \ge 1$, то есть он также всегда положителен. Частное двух положительных чисел всегда положительно. Следовательно, неравенство верно для любого действительного числа $x$. Множество решений — $R$.
Ответ: +

6) Рассмотрим неравенство $|x| \ge x$. Это неравенство верно для всех действительных чисел. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и неравенство $x \ge x$ является верным. Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и неравенство $-x \ge x$ эквивалентно $0 \ge 2x$ или $x \le 0$, что также верно для всех $x < 0$. Таким образом, множество решений — $R$.
Ответ: +

7) Рассмотрим неравенство $x^2 + 1 \ge 1$. Вычтем $1$ из обеих частей неравенства, чтобы получить $x^2 \ge 0$. Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным. Следовательно, это неравенство верно для любого действительного числа $x$. Множество решений — $R$.
Ответ: +

8) Рассмотрим неравенство $\frac{1}{x^2} > 0$. Область допустимых значений для этого неравенства — все действительные числа, кроме $x=0$, так как знаменатель не может быть равен нулю. Для любого $x \neq 0$, $x^2$ является положительным числом. Частное от деления положительного числа $1$ на положительное число $x^2$ также будет положительным. Таким образом, неравенство верно для всех $x$ из области определения, то есть для $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Это множество решений не является ни множеством всех действительных чисел $R$ (так как точка $x=0$ исключена), ни пустым множеством $\emptyset$. Следовательно, для данного неравенства нельзя поставить ни знак «+», ни знак «–».
Ответ: Знак поставить нельзя.