Номер 6, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Неравенства. Параграф 4. Неравенства с одной переменной - номер 6, страница 23.

Условие.

6. Поставьте в пустой клетке знак «+», если данные неравенства равносильны, или знак «–», если эти неравенства неравносильны.

1) $|x| \le -0,5$ и $\frac{1}{(x-2)^2} < 0$

2) $x \ge 5$ и $x > 4$

3) $\sqrt{x} > 2$ и $x^2 > 4$

4) $\frac{x^2+4}{x^2+4} \ge 1$ и $\frac{x^2+4}{x^2+4} > 0$

5) $0x \ge 4$ и $0x \le -4$

6) $0x \le 4$ и $0x \ge -4$

Решение.

1) Рассмотрим первое неравенство $|x| \le -0,5$. Модуль любого действительного числа $|x|$ всегда неотрицателен, то есть $|x| \ge 0$. Неравенство, в котором неотрицательная величина меньше или равна отрицательному числу, не имеет решений. Множество решений этого неравенства — пустое множество ($\emptyset$).
Теперь рассмотрим второе неравенство $\frac{1}{(x-2)^2} < 0$. Выражение в знаменателе $(x-2)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно. При $x \ne 2$ знаменатель строго положителен. Числитель 1 также положителен. Дробь, у которой и числитель, и знаменатель положительны, всегда будет положительной. Таким образом, неравенство $\frac{1}{(x-2)^2} < 0$ не имеет решений. Множество его решений также является пустым множеством ($\emptyset$).
Поскольку множества решений обоих неравенств совпадают, они равносильны.
Ответ: +

2) Первое неравенство $x \ge 5$ имеет множество решений $[5, +\infty)$.
Второе неравенство $x > 4$ имеет множество решений $(4, +\infty)$.
Эти множества не совпадают. Например, число $4,5$ является решением второго неравенства ($4,5 > 4$), но не является решением первого ($4,5 \not\ge 5$). Следовательно, неравенства не равносильны.
Ответ: ↔

3) Рассмотрим первое неравенство $\sqrt{x} > 2$. Область допустимых значений для этого неравенства: $x \ge 0$. Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства: $(\sqrt{x})^2 > 2^2$, что дает $x > 4$. С учетом ОДЗ, множество решений этого неравенства — $(4, +\infty)$.
Рассмотрим второе неравенство $x^2 > 4$. Перенесем 4 в левую часть: $x^2 - 4 > 0$, или $(x-2)(x+2) > 0$. Решением этого неравенства является объединение интервалов $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.
Множества решений $(4, +\infty)$ и $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$ не совпадают. Например, число $3$ является решением второго неравенства ($3^2 > 4$), но не является решением первого ($\sqrt{3} \not> 2$). Следовательно, неравенства не равносильны.
Ответ: ↔

4) Рассмотрим первое неравенство $\frac{x^2+4}{x^2+4} \ge 1$. Так как $x^2 \ge 0$, то знаменатель $x^2+4$ всегда положителен и никогда не равен нулю. Поэтому левую часть можно сократить. Неравенство принимает вид $1 \ge 1$. Это верное утверждение для любого действительного числа $x$. Множество решений — $(-\infty, +\infty)$.
Рассмотрим второе неравенство $\frac{x^2+4}{x^2+4} > 0$. Аналогично, левая часть равна 1, и неравенство принимает вид $1 > 0$. Это также верное утверждение для любого действительного числа $x$. Множество решений — $(-\infty, +\infty)$.
Поскольку множества решений обоих неравенств совпадают, они равносильны.
Ответ: +

5) Рассмотрим первое неравенство $0 \cdot x \ge 4$. Левая часть при любом значении $x$ равна нулю. Неравенство принимает вид $0 \ge 4$, что является ложным утверждением. Следовательно, это неравенство не имеет решений. Множество решений — $\emptyset$.
Рассмотрим второе неравенство $0 \cdot x \le -4$. Левая часть также равна нулю, и неравенство принимает вид $0 \le -4$, что является ложным утверждением. Это неравенство также не имеет решений. Множество решений — $\emptyset$.
Поскольку множества решений обоих неравенств совпадают, они равносильны.
Ответ: +

6) Рассмотрим первое неравенство $0 \cdot x \le 4$. Левая часть при любом значении $x$ равна нулю. Неравенство принимает вид $0 \le 4$, что является истинным утверждением. Следовательно, решением является любое действительное число. Множество решений — $(-\infty, +\infty)$.
Рассмотрим второе неравенство $0 \cdot x \ge -4$. Левая часть также равна нулю, и неравенство принимает вид $0 \ge -4$, что является истинным утверждением. Решением также является любое действительное число. Множество решений — $(-\infty, +\infty)$.
Поскольку множества решений обоих неравенств совпадают, они равносильны.
Ответ: +