Номер 5, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Неравенства. Параграф 4. Неравенства с одной переменной - номер 5, страница 23.

Условие.

5. Решите неравенство:

1) $\frac{4}{(x - 3)^2} + 1 > 0;$

Ответ: $x$ — любое число, кроме

2) $\frac{x - 5}{x - 5} \ge 0;$

Ответ:

3) $\frac{x + 6}{x + 6} \le 1;$

Ответ:

4) $\left(\frac{x + 3}{x - 6}\right)^2 \ge 0;$

Ответ:

5) $\left(\frac{x + 3}{x - 6}\right)^2 > 0;$

Ответ:

6) $x + \frac{4}{x - 7} > 3 + \frac{4}{x - 7};$

Ответ:

Решение.

1) Решение неравенства $\frac{4}{(x-3)^2} + 1 > 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $(x-3)^2 \neq 0$, откуда $x-3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$.

Для любого $x$ из ОДЗ выражение $(x-3)^2$ всегда положительно, так как это квадрат ненулевого числа. Следовательно, дробь $\frac{4}{(x-3)^2}$ (частное двух положительных чисел) также всегда положительна.

Сумма положительного числа $\frac{4}{(x-3)^2}$ и положительного числа $1$ всегда будет положительна. Таким образом, неравенство выполняется для всех $x$ из области допустимых значений.

Ответ: $x$ — любое число, кроме 3.

2) Решение неравенства $\frac{x-5}{x-5} \geq 0$

ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x-5 \neq 0$, откуда $x \neq 5$.

При всех $x \neq 5$ выражение $\frac{x-5}{x-5}$ равно 1.

Таким образом, неравенство сводится к $1 \geq 0$, что является верным утверждением. Следовательно, исходное неравенство верно для всех $x$ из ОДЗ.

Ответ: $x$ — любое число, кроме 5.

3) Решение неравенства $\frac{x+6}{x+6} \leq 1$

ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x+6 \neq 0$, откуда $x \neq -6$.

При всех $x \neq -6$ выражение $\frac{x+6}{x+6}$ равно 1.

Таким образом, неравенство сводится к $1 \leq 1$, что является верным утверждением. Следовательно, исходное неравенство верно для всех $x$ из ОДЗ.

Ответ: $x$ — любое число, кроме -6.

4) Решение неравенства $(\frac{x+3}{x-6})^2 \geq 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю). Поэтому неравенство будет верным для всех значений $x$, при которых выражение в скобках определено.

ОДЗ: знаменатель дроби не должен быть равен нулю, то есть $x-6 \neq 0$, откуда $x \neq 6$.

Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел, кроме $x=6$.

Ответ: $x$ — любое число, кроме 6.

5) Решение неравенства $(\frac{x+3}{x-6})^2 > 0$

Квадрат действительного числа строго больше нуля тогда и только тогда, когда само это число не равно нулю. Поэтому нам нужно, чтобы выражение $\frac{x+3}{x-6}$ было определено и не равнялось нулю.

1. Условие определенности (ОДЗ): знаменатель не равен нулю, $x-6 \neq 0 \Rightarrow x \neq 6$.

2. Условие неравенства нулю: дробь не равна нулю, если ее числитель не равен нулю, $x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$.

Объединяя эти два условия, получаем, что $x$ не может быть равен -3 и 6.

Ответ: $x$ — любое число, кроме -3 и 6.

6) Решение неравенства $x + \frac{4}{x-7} > 3 + \frac{4}{x-7}$

ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, $x-7 \neq 0 \Rightarrow x \neq 7$.

Вычтем из обеих частей неравенства одинаковое слагаемое $\frac{4}{x-7}$. Знак неравенства при этом не изменится.

$x + \frac{4}{x-7} - \frac{4}{x-7} > 3 + \frac{4}{x-7} - \frac{4}{x-7}$

Получаем $x > 3$.

Учитывая ОДЗ ($x \neq 7$), решением будет являться множество всех чисел, которые больше 3, за исключением числа 7.

Ответ: $x \in (3; 7) \cup (7; +\infty)$.