Номер 24, страница 38, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Неравенства. Параграф 5. Решение линейных неравенств с одной переменной. Числовые промежутки - номер 24, страница 38.

Условие.

24. При каких значениях $a$ квадратное уравнение $(a - 1)x^2 - 2(a + 1)x + a = 0$ имеет два различных корня?

Решение.

Ответ:

Решение.

Квадратное уравнение имеет два различных корня, если выполняются два условия: его старший коэффициент не равен нулю, а дискриминант строго положителен.

1. Старший коэффициент $(a-1)$ должен быть отличен от нуля. Это обеспечивает, что уравнение является квадратным.

$a - 1 \neq 0$

$a \neq 1$

При $a = 1$ уравнение становится линейным: $-4x + 1 = 0$, и имеет только один корень. Поэтому $a=1$ не является решением.

2. Дискриминант $D$ должен быть строго больше нуля ($D > 0$).

Вычислим дискриминант для уравнения $(a - 1)x^2 - 2(a + 1)x + a = 0$:

$D = (-2(a + 1))^2 - 4(a - 1)a = 4(a + 1)^2 - 4a(a - 1)$

$D = 4(a^2 + 2a + 1) - (4a^2 - 4a) = 4a^2 + 8a + 4 - 4a^2 + 4a$

$D = 12a + 4$

Теперь решим неравенство $D > 0$:

$12a + 4 > 0$

$12a > -4$

$a > -\frac{4}{12}$

$a > -\frac{1}{3}$

Объединяя оба условия, получаем систему:

$\begin{cases} a > -1/3 \\ a \neq 1 \end{cases}$

Решением этой системы является объединение интервалов $(-1/3; 1)$ и $(1; +\infty)$.

Ответ: $a \in (-1/3; 1) \cup (1; +\infty)$.