Номер 27, страница 40, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Неравенства. Параграф 5. Решение линейных неравенств с одной переменной. Числовые промежутки - номер 27, страница 40.

Условие.

27. Решите уравнение:

1) $|x - 2| + 2x = 7;$

2) $|3x + 15| - 5x = 1.$

Решение.

Рассмотрим два случая.

I. $x \ge 2$. Тогда $|x - 2| = x - 2.$

Имеем: $x - 2 + 2x = 7;$

II. $x < 2$. Тогда $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x.$

Имеем: $2 - x + 2x = 7;$

Ответ:

Ответ:

Решение.

1) $|x - 2| + 2x = 7$

Решение.

Рассмотрим два случая, раскрывая модуль.

I. Если подмодульное выражение неотрицательно, то есть $x - 2 \ge 0$, что равносильно $x \ge 2$. В этом случае $|x - 2| = x - 2$.

Уравнение принимает вид:

$x - 2 + 2x = 7$

Приводим подобные слагаемые:

$3x - 2 = 7$

$3x = 9$

$x = 3$

Проверяем, удовлетворяет ли найденный корень условию $x \ge 2$. Так как $3 \ge 2$, условие выполняется. Значит, $x = 3$ является решением уравнения.

II. Если подмодульное выражение отрицательно, то есть $x - 2 < 0$, что равносильно $x < 2$. В этом случае $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$.

Уравнение принимает вид:

$2 - x + 2x = 7$

Приводим подобные слагаемые:

$2 + x = 7$

$x = 5$

Проверяем, удовлетворяет ли найденный корень условию $x < 2$. Так как неравенство $5 < 2$ является ложным, $x = 5$ не является решением уравнения.

Таким образом, у уравнения есть только один корень.

Ответ: 3

---

2) $|3x + 15| - 5x = 1$

Решение.

Рассмотрим два случая, раскрывая модуль. Найдем значение $x$, при котором выражение под модулем равно нулю: $3x + 15 = 0 \Rightarrow 3x = -15 \Rightarrow x = -5$.

I. Если $x \ge -5$, то подмодульное выражение $3x + 15$ неотрицательно. В этом случае $|3x + 15| = 3x + 15$.

Уравнение принимает вид:

$(3x + 15) - 5x = 1$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$3x + 15 - 5x = 1$

$-2x + 15 = 1$

$-2x = 1 - 15$

$-2x = -14$

$x = 7$

Проверяем, удовлетворяет ли найденный корень условию $x \ge -5$. Так как $7 \ge -5$, условие выполняется. Значит, $x = 7$ является решением уравнения.

II. Если $x < -5$, то подмодульное выражение $3x + 15$ отрицательно. В этом случае $|3x + 15| = -(3x + 15) = -3x - 15$.

Уравнение принимает вид:

$(-3x - 15) - 5x = 1$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$-3x - 15 - 5x = 1$

$-8x - 15 = 1$

$-8x = 1 + 15$

$-8x = 16$

$x = -2$

Проверяем, удовлетворяет ли найденный корень условию $x < -5$. Так как неравенство $-2 < -5$ является ложным, $x = -2$ не является решением уравнения.

Таким образом, у уравнения есть только один корень.

Ответ: 7