Номер 28, страница 41, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Неравенства. Параграф 5. Решение линейных неравенств с одной переменной. Числовые промежутки - номер 28, страница 41.

Условие.

28. Постройте график функции:

1) $y = |x - 3|$;

Решение.

При $x \ge 3$ имеем: $y = x - 3$.

При $x < 3$ имеем: $y = $

Следовательно, $y = \begin{cases} x - 3, & \text{ если } x \ge 3, \\ & \text{ если } x < 3. \end{cases}$

2) $y = |x + 2| - 3$;

3) $y = |2x + 2| - 2x.$

Решение.

1) $y = |x - 3|$

Для построения графика функции, содержащей модуль, необходимо раскрыть модуль. По определению абсолютной величины: $|a| = a$, если $a \geq 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$.

Рассмотрим два случая для подмодульного выражения $x-3$:

1. Если $x - 3 \geq 0$, то есть $x \geq 3$, то $|x - 3| = x - 3$. На этом промежутке функция принимает вид $y = x - 3$. Это линейная функция, графиком которой является часть прямой.

2. Если $x - 3 < 0$, то есть $x < 3$, то $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$. На этом промежутке функция принимает вид $y = 3 - x$. Это также линейная функция.

Таким образом, мы можем представить исходную функцию в кусочно-заданном виде: $y = \begin{cases} x - 3, & \text{если } x \geq 3 \\ 3 - x, & \text{если } x < 3 \end{cases}$

График функции состоит из двух лучей, исходящих из одной точки — вершины. Координаты вершины соответствуют точке, где подмодульное выражение равно нулю: $x - 3 = 0 \implies x = 3$. При $x=3$, $y = |3 - 3| = 0$. Таким образом, вершина находится в точке $(3, 0)$.

Для построения каждого луча найдем по одной дополнительной точке:
- Для $y = x - 3$ при $x \geq 3$, возьмем $x=5$: $y = 5 - 3 = 2$. Точка $(5, 2)$.
- Для $y = 3 - x$ при $x < 3$, возьмем $x=1$: $y = 3 - 1 = 2$. Точка $(1, 2)$.

Ответ:

2) $y = |x + 2| - 3$

Построение этого графика можно выполнить двумя способами: раскрытием модуля или геометрическими преобразованиями.

Способ 1: Раскрытие модуля.
Раскроем модуль, рассмотрев два случая для выражения $x+2$:

1. Если $x + 2 \geq 0$, то есть $x \geq -2$, то $|x + 2| = x + 2$. Функция принимает вид $y = (x + 2) - 3 = x - 1$.

2. Если $x + 2 < 0$, то есть $x < -2$, то $|x + 2| = -(x + 2) = -x - 2$. Функция принимает вид $y = (-x - 2) - 3 = -x - 5$.

Таким образом, функция задается кусочно: $y = \begin{cases} x - 1, & \text{если } x \geq -2 \\ -x - 5, & \text{если } x < -2 \end{cases}$

Вершина графика находится в точке, где $x = -2$. $y = |-2 + 2| - 3 = -3$. Координаты вершины $(-2, -3)$.
Найдем точки для построения:
- При $x \geq -2$, возьмем $x = 0$: $y = 0 - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$.
- При $x < -2$, возьмем $x = -4$: $y = -(-4) - 5 = 4 - 5 = -1$. Точка $(-4, -1)$.

Способ 2: Геометрические преобразования.
График функции $y = |x + 2| - 3$ можно получить из графика базовой функции $y = |x|$ следующими преобразованиями:
1. Сдвиг графика $y = |x|$ на 2 единицы влево по оси Ox, чтобы получить график $y = |x + 2|$.
2. Сдвиг полученного графика на 3 единицы вниз по оси Oy, чтобы получить график $y = |x + 2| - 3$.
Вершина графика $y = |x|$ находится в точке $(0, 0)$, следовательно, вершина искомого графика будет в точке $(-2, -3)$.

Ответ:

3) $y = |2x + 2| - 2x$

Для построения графика раскроем модуль. Найдем точку, в которой подмодульное выражение меняет знак: $2x + 2 = 0 \implies 2x = -2 \implies x = -1$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $x \geq -1$, то $2x + 2 \geq 0$, и $|2x + 2| = 2x + 2$. Функция на этом промежутке принимает вид:
$y = (2x + 2) - 2x = 2$.
Это горизонтальная прямая $y=2$.

2. Если $x < -1$, то $2x + 2 < 0$, и $|2x + 2| = -(2x + 2) = -2x - 2$. Функция на этом промежутке принимает вид:
$y = (-2x - 2) - 2x = -4x - 2$.
Это линейная функция с отрицательным наклоном.

Итак, функция является кусочно-линейной: $y = \begin{cases} 2, & \text{если } x \geq -1 \\ -4x - 2, & \text{если } x < -1 \end{cases}$

График состоит из двух лучей, исходящих из общей точки ("точки излома"). Найдем координаты этой точки, подставив $x = -1$ в любое из выражений (поскольку функция непрерывна): $y = 2$. Точка излома — $(-1, 2)$.
Для построения луча $y = -4x - 2$ при $x < -1$ возьмем еще одну точку, например, $x = -2$:
$y = -4(-2) - 2 = 8 - 2 = 6$. Точка $(-2, 6)$.

Ответ: