Номер 7, страница 44, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Неравенства. Параграф 6. Системы линейных неравенств с одной переменной - номер 7, страница 44.

Условие.

7. Изобразите на координатной прямой и запишите пересечение промежутков:

1) $ [-2; 6] \cap [3; 8] = $

2) $ [5; 8] \cap (5; 10) = $

3) $ (-\infty; 4,3] \cap [3,6; +\infty) = $

4) $ (-\infty; 1,5) \cap (1,6; +\infty) = $

Решение.

1) $[-2; 6] \cap [3; 8] =$
Пересечение (обозначается символом $\cap$) двух промежутков — это множество всех чисел, которые принадлежат каждому из этих промежутков.
Изобразим промежутки на координатной прямой. Промежуток $[-2; 6]$ — это все точки от $-2$ до $6$ включительно. Промежуток $[3; 8]$ — это все точки от $3$ до $8$ включительно.

Общей частью (перекрытием) этих двух промежутков является отрезок от $3$ до $6$. Так как точки $3$ и $6$ принадлежат обоим исходным промежуткам (обозначено квадратными скобками), они также принадлежат и их пересечению.
Ответ: $[3; 6]$

2) $[5; 8] \cap (5; 10) =$
Первый промежуток $[5; 8]$ включает все числа от $5$ до $8$, включая концы (отрезок). На координатной прямой точки $5$ и $8$ обозначаются закрашенными кружками.
Второй промежуток $(5; 10)$ включает все числа между $5$ и $10$, не включая концы (интервал). На координатной прямой точки $5$ и $10$ обозначаются выколотыми (незакрашенными) кружками.

Общей частью является множество чисел, которые больше $5$ и меньше или равны $8$. Число $5$ не входит в пересечение, так как оно не принадлежит второму промежутку (круглая скобка). Число $8$ входит в пересечение, так как принадлежит обоим промежуткам.
Результат — полуинтервал $(5; 8]$.
Ответ: $(5; 8]$

3) $(-\infty; 4,3] \cap [3,6; +\infty) =$
Первый промежуток $(-\infty; 4,3]$ — это числовой луч, включающий все числа, меньшие или равные $4,3$. Точка $4,3$ включена.
Второй промежуток $[3,6; +\infty)$ — это числовой луч, включающий все числа, большие или равные $3,6$. Точка $3,6$ включена.

Изобразив оба луча на одной прямой, видим, что их общая часть — это отрезок между точками $3,6$ и $4,3$. Так как обе граничные точки включены в соответствующие исходные промежутки, они включаются и в пересечение.
Результат — отрезок $[3,6; 4,3]$.
Ответ: $[3,6; 4,3]$

4) $(-\infty; 1,5) \cap (1,6; +\infty) =$
Первый промежуток $(-\infty; 1,5)$ включает все числа, строго меньшие $1,5$. Точка $1,5$ не включена.
Второй промежуток $(1,6; +\infty)$ включает все числа, строго большие $1,6$. Точка $1,6$ не включена.

На координатной прямой эти два промежутка не имеют общих точек, они разделены промежутком от $1,5$ до $1,6$. Не существует числа, которое одновременно было бы меньше $1,5$ и больше $1,6$.
Следовательно, их пересечение является пустым множеством.
Ответ: $\emptyset$