Номер 8, страница 45, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Неравенства. Параграф 6. Системы линейных неравенств с одной переменной - номер 8, страница 45.

Условие.

8. Какая из данных систем неравенств не имеет решений? В ответ запишите номер этой системы.

1) $\begin{cases} x > 3 \\ x \ge -2 \end{cases}$

2) $\begin{cases} x < 3 \\ x \ge -2 \end{cases}$

3) $\begin{cases} x < 3 \\ x \le -2 \end{cases}$

4) $\begin{cases} x > 3 \\ x \le -2 \end{cases}$

Ответ: ______

Решение.

Для того чтобы определить, какая из систем неравенств не имеет решений, необходимо найти множество решений для каждой из предложенных систем. Решение системы неравенств — это пересечение множеств решений каждого из неравенств, входящих в систему. Если это пересечение является пустым множеством, то система не имеет решений.

1) Рассмотрим систему:$$\begin{cases} x > 3 \\ x \ge -2\end{cases}$$Решение первого неравенства, $x > 3$, — это множество всех чисел, больших 3, то есть интервал $(3; +\infty)$.
Решение второго неравенства, $x \ge -2$, — это множество всех чисел, больших или равных -2, то есть интервал $[-2; +\infty)$.
Решением системы является пересечение этих множеств: $(3; +\infty) \cap [-2; +\infty) = (3; +\infty)$.
Так как множество решений не пустое, данная система имеет решения.

2) Рассмотрим систему:$$\begin{cases} x < 3 \\ x \ge -2\end{cases}$$Решение первого неравенства, $x < 3$, — это интервал $(-\infty; 3)$.
Решение второго неравенства, $x \ge -2$, — это интервал $[-2; +\infty)$.
Решением системы является пересечение этих множеств: $(-\infty; 3) \cap [-2; +\infty) = [-2; 3)$.
Так как множество решений не пустое, данная система имеет решения.

3) Рассмотрим систему:$$\begin{cases} x < 3 \\ x \le -2\end{cases}$$Решение первого неравенства, $x < 3$, — это интервал $(-\infty; 3)$.
Решение второго неравенства, $x \le -2$, — это интервал $(-\infty; -2]$.
Решением системы является пересечение этих множеств: $(-\infty; 3) \cap (-\infty; -2] = (-\infty; -2]$.
Так как множество решений не пустое, данная система имеет решения.

4) Рассмотрим систему:$$\begin{cases} x > 3 \\ x \le -2\end{cases}$$Решение первого неравенства, $x > 3$, — это интервал $(3; +\infty)$.
Решение второго неравенства, $x \le -2$, — это интервал $(-\infty; -2]$.
Решением системы является пересечение этих множеств: $(3; +\infty) \cap (-\infty; -2]$.
Не существует такого числа $x$, которое было бы одновременно больше 3 и меньше или равно -2. Следовательно, пересечение этих множеств является пустым множеством ($\emptyset$).
Данная система не имеет решений.

Таким образом, единственная система, которая не имеет решений, — это система под номером 4.

Ответ: 4