Номер 18, страница 33, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Неравенства. Параграф 5. Решение линейных неравенств с одной переменной. Числовые промежутки - номер 18, страница 33.

Условие.

18. Решите неравенство:

1) $3\left(2x - \frac{1}{3}\right) - 4(1 + 4x) \le 2(3 - x);$

Решение.

Раскрыв скобки, получаем:

$6x - 1 - 4 - 16x < 6 - 2x;$

Ответ:

2) $(x - 4)(x + 6) \le (x + 1)(x - 7);$

Решение.

Ответ:

3) $(x - 3)(x - 3) > 2(x - 2)^2 - x(x + 1);$

Решение.

Ответ:

4) $\frac{2x + 3}{2} + \frac{x - 1}{4} \ge x;$

Решение.

Умножив обе части данного неравенства на число 4, равное наименьшему общему знаменателю дробей, стоящих в левой части неравенства, получаем:

$\frac{2x + 3}{2} \cdot 4 + \frac{x - 1}{4} \cdot 4 \ge 4x;$

Ответ:

5) $1 - \frac{4x + 5}{8} \le \frac{1 - 3x}{10};$

Решение.

Ответ:

6) $\frac{6x + 1}{6} - \frac{5x + 4}{4} \ge \frac{1}{3};$

Решение.

Ответ:

Решение.

1) $3(2x - \frac{1}{3}) - 4(1 + 4x) \leq 2(3 - x)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$3 \cdot 2x - 3 \cdot \frac{1}{3} - 4 \cdot 1 - 4 \cdot 4x \leq 2 \cdot 3 - 2 \cdot x$

$6x - 1 - 4 - 16x \leq 6 - 2x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(6x - 16x) - (1 + 4) \leq 6 - 2x$

$-10x - 5 \leq 6 - 2x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую, меняя знаки при переносе:

$-10x + 2x \leq 6 + 5$

$-8x \leq 11$

Разделим обе части неравенства на $-8$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \geq -\frac{11}{8}$

$x \geq -1,375$

Ответ: $x \in [-\frac{11}{8}; +\infty)$

2) $(x - 4)(x + 6) \leq (x + 1)(x - 7)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства, перемножив многочлены:

$x^2 + 6x - 4x - 24 \leq x^2 - 7x + x - 7$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$x^2 + 2x - 24 \leq x^2 - 6x - 7$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$x^2 + 2x - 24 - x^2 + 6x + 7 \leq 0$

Взаимно уничтожим $x^2$ и $-x^2$ и приведем подобные слагаемые:

$(2x + 6x) + (-24 + 7) \leq 0$

$8x - 17 \leq 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$8x \leq 17$

Разделим обе части на $8$:

$x \leq \frac{17}{8}$

$x \leq 2,125$

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{17}{8}]$

3) $(x - 3)(x - 3) > 2(x - 2)^2 - x(x + 1)$

Раскроем скобки и применим формулы сокращенного умножения:

$(x - 3)^2 > 2(x^2 - 4x + 4) - (x^2 + x)$

$x^2 - 6x + 9 > 2x^2 - 8x + 8 - x^2 - x$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$x^2 - 6x + 9 > (2x^2 - x^2) + (-8x - x) + 8$

$x^2 - 6x + 9 > x^2 - 9x + 8$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а свободные члены — в правую:

$x^2 - 6x - x^2 + 9x > 8 - 9$

Приведем подобные слагаемые:

$3x > -1$

Разделим обе части на $3$:

$x > -\frac{1}{3}$

Ответ: $x \in (-\frac{1}{3}; +\infty)$

4) $\frac{2x + 3}{2} + \frac{x - 1}{4} \geq x$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, то есть на $4$:

$4 \cdot \frac{2x + 3}{2} + 4 \cdot \frac{x - 1}{4} \geq 4 \cdot x$

$2(2x + 3) + 1(x - 1) \geq 4x$

Раскроем скобки:

$4x + 6 + x - 1 \geq 4x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$5x + 5 \geq 4x$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а свободные члены — в правую:

$5x - 4x \geq -5$

$x \geq -5$

Ответ: $x \in [-5; +\infty)$

5) $1 - \frac{4x + 5}{8} \leq \frac{1 - 3x}{10}$

Найдем наименьший общий знаменатель для $8$ и $10$. Это $40$. Умножим обе части неравенства на $40$:

$40 \cdot 1 - 40 \cdot \frac{4x + 5}{8} \leq 40 \cdot \frac{1 - 3x}{10}$

$40 - 5(4x + 5) \leq 4(1 - 3x)$

Раскроем скобки:

$40 - 20x - 25 \leq 4 - 12x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$15 - 20x \leq 4 - 12x$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а свободные члены — в правую:

$-20x + 12x \leq 4 - 15$

$-8x \leq -11$

Разделим обе части неравенства на $-8$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \geq \frac{-11}{-8}$

$x \geq \frac{11}{8}$

$x \geq 1,375$

Ответ: $x \in [\frac{11}{8}; +\infty)$

6) $\frac{6x + 1}{6} - \frac{5x + 4}{4} \geq -\frac{1}{3}$

Найдем наименьший общий знаменатель для $6, 4$ и $3$. Это $12$. Умножим обе части неравенства на $12$:

$12 \cdot \frac{6x + 1}{6} - 12 \cdot \frac{5x + 4}{4} \geq 12 \cdot (-\frac{1}{3})$

$2(6x + 1) - 3(5x + 4) \geq -4$

Раскроем скобки:

$12x + 2 - 15x - 12 \geq -4$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-3x - 10 \geq -4$

Перенесем свободный член в правую часть:

$-3x \geq -4 + 10$

$-3x \geq 6$

Разделим обе части неравенства на $-3$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \leq \frac{6}{-3}$

$x \leq -2$

Ответ: $x \in (-\infty; -2]$