Номер 13, страница 30, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Неравенства. Параграф 5. Решение линейных неравенств с одной переменной. Числовые промежутки - номер 13, страница 30.

Условие.

13. Решите неравенство:

1) $\frac{5x}{6} - \frac{x}{4} > 7$;

Решение.

Умножив обе части данного

неравенства на число

равное наименьшему общему

знаменателю дробей, стоящих

в левой части неравенства,

получаем:

2) $\frac{x}{15} + \frac{x}{5} < -2$;

Решение.

3) $\frac{x}{2} + \frac{x}{7} \ge x$;

Ответ:

Решение.

4) $\frac{x}{3} - \frac{x}{2} \le -\frac{1}{6}$

Ответ:

Решение.

Решение.

1) Решим неравенство $ \frac{5x}{6} - \frac{x}{4} > 7 $.

Для того чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 6 и 4. НОК(6, 4) = 12.

$ 12 \cdot (\frac{5x}{6} - \frac{x}{4}) > 12 \cdot 7 $

$ \frac{12 \cdot 5x}{6} - \frac{12 \cdot x}{4} > 84 $

$ 2 \cdot 5x - 3 \cdot x > 84 $

$ 10x - 3x > 84 $

Приведем подобные слагаемые в левой части неравенства:

$ 7x > 84 $

Разделим обе части на 7:

$ x > \frac{84}{7} $

$ x > 12 $

Ответ: $ x \in (12; +\infty) $

2) Решим неравенство $ \frac{x}{15} + \frac{x}{5} < -2 $.

Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 15 и 5. НОК(15, 5) = 15. Умножим обе части неравенства на 15:

$ 15 \cdot (\frac{x}{15} + \frac{x}{5}) < 15 \cdot (-2) $

$ \frac{15 \cdot x}{15} + \frac{15 \cdot x}{5} < -30 $

$ x + 3x < -30 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 4x < -30 $

Разделим обе части на 4:

$ x < -\frac{30}{4} $

$ x < -7.5 $

Ответ: $ x \in (-\infty; -7.5) $

3) Решим неравенство $ \frac{x}{2} + \frac{x}{7} \ge x $.

Перенесем $ x $ в левую часть неравенства:

$ \frac{x}{2} + \frac{x}{7} - x \ge 0 $

Приведем все слагаемые к общему знаменателю. НОК(2, 7, 1) = 14.

$ \frac{7x}{14} + \frac{2x}{14} - \frac{14x}{14} \ge 0 $

$ \frac{7x + 2x - 14x}{14} \ge 0 $

$ \frac{-5x}{14} \ge 0 $

Умножим обе части на 14 (знак неравенства не меняется, так как 14 > 0):

$ -5x \ge 0 $

Разделим обе части на -5. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

$ x \le \frac{0}{-5} $

$ x \le 0 $

Ответ: $ x \in (-\infty; 0] $

4) Решим неравенство $ \frac{x}{3} - \frac{x}{2} \le -\frac{1}{6} $.

Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 3, 2 и 6. НОК(3, 2, 6) = 6. Умножим обе части неравенства на 6:

$ 6 \cdot (\frac{x}{3} - \frac{x}{2}) \le 6 \cdot (-\frac{1}{6}) $

$ \frac{6 \cdot x}{3} - \frac{6 \cdot x}{2} \le -1 $

$ 2x - 3x \le -1 $

Приведем подобные слагаемые:

$ -x \le -1 $

Умножим (или разделим) обе части на -1. При этом знак неравенства меняется на противоположный:

$ x \ge 1 $

Ответ: $ x \in [1; +\infty) $