Номер 16, страница 74, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 7. Повторение и расширение сведений о функции - номер 16, страница 74.

Условие.

16. Найдите область определения функции и по-стройте её график.

1) $f(x) = \frac{x^3 - 4x}{x^2 - 4}$

Решение.

Данная функция определена при $x^2 - 4 \ne 0$. Отсюда $x^2 \ne 4$; $x \ne \_\_\_\_\_\_\_$ и $x \ne \_\_\_\_\_\_\_$

Следовательно, $D(f) = \_\_\_\_\_\_$

Имеем: $\frac{x^3 - 4x}{x^2 - 4} = \frac{x(x^2 - 4)}{x^2 - 4} = x$.

Таким образом, графиком данной функции являются все точки прямой $y = x$, за исключением точек с абсциссами $\_\_\_\_\_\_$ и $\_\_\_\_\_\_$

2) $f(x) = \frac{x\sqrt{x} - \sqrt{x}}{x - 1}$

Решение.

3) $f(x) = \frac{x^4 - 3x^2}{x^2 - 3}$

Решение.

Решение.

1) $f(x) = \frac{x^3 - 4x}{x^2 - 4}$

Решение.

Сначала найдём область определения функции. Функция представляет собой дробь, поэтому её знаменатель не может быть равен нулю.

$x^2 - 4 \neq 0$
$(x - 2)(x + 2) \neq 0$
Отсюда следует, что $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Таким образом, область определения функции $D(f)$ — это все действительные числа, кроме -2 и 2:
$D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

Теперь упростим выражение для функции, разложив числитель на множители:

$f(x) = \frac{x(x^2 - 4)}{x^2 - 4}$

При всех $x$ из области определения ($x \neq \pm 2$), мы можем сократить дробь на $(x^2 - 4)$:

$f(x) = x$

Это означает, что график функции $f(x)$ совпадает с графиком прямой $y=x$, но с двумя "выколотыми" точками, абсциссы которых не входят в область определения.

Найдём координаты этих точек:

• При $x = -2$, $y = -2$. Координаты первой выколотой точки: $(-2, -2)$.
• При $x = 2$, $y = 2$. Координаты второй выколотой точки: $(2, 2)$.

Построим график — прямую $y=x$ с выколотыми точками $(-2, -2)$ и $(2, 2)$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$. Графиком является прямая $y=x$ с выколотыми точками $(-2; -2)$ и $(2; 2)$.

---

2) $f(x) = \frac{x\sqrt{x} - \sqrt{x}}{x - 1}$

Решение.

Найдём область определения функции. Она определяется двумя условиями:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

Объединяя эти условия, получаем область определения: $D(f) = [0; 1) \cup (1; +\infty)$.

Упростим выражение для функции, вынеся $\sqrt{x}$ за скобки в числителе:

$f(x) = \frac{\sqrt{x}(x - 1)}{x - 1}$

При $x \neq 1$ можно сократить дробь на $(x - 1)$:

$f(x) = \sqrt{x}$

График данной функции совпадает с графиком функции $y = \sqrt{x}$ на её области определения. Это ветвь параболы, начинающаяся в точке $(0,0)$, с выколотой точкой при $x=1$.

Найдём координаты выколотой точки:

• При $x = 1$, $y = \sqrt{1} = 1$. Координаты точки: $(1, 1)$.

Построим график — кривую $y=\sqrt{x}$ (для $x \ge 0$) с выколотой точкой $(1, 1)$.

Ответ: Область определения $D(f) = [0; 1) \cup (1; +\infty)$. Графиком является часть параболы $y=\sqrt{x}$ с выколотой точкой $(1; 1)$.

---

3) $f(x) = \frac{x^4 - 3x^2}{x^2 - 3}$

Решение.

Найдём область определения функции. Знаменатель не должен равняться нулю:

$x^2 - 3 \neq 0$
$x^2 \neq 3$
Отсюда $x \neq \sqrt{3}$ и $x \neq -\sqrt{3}$.

Область определения $D(f) = (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}; \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty)$.

Упростим выражение для функции, вынеся $x^2$ за скобки в числителе:

$f(x) = \frac{x^2(x^2 - 3)}{x^2 - 3}$

При $x \neq \pm \sqrt{3}$ можно сократить дробь на $(x^2 - 3)$:

$f(x) = x^2$

График данной функции совпадает с графиком параболы $y=x^2$ за исключением двух выколотых точек, абсциссы которых не входят в область определения.

Найдём координаты этих точек (учитывая, что $\sqrt{3} \approx 1.73$):

• При $x = -\sqrt{3}$, $y = (-\sqrt{3})^2 = 3$. Координаты первой точки: $(-\sqrt{3}, 3)$.
• При $x = \sqrt{3}$, $y = (\sqrt{3})^2 = 3$. Координаты второй точки: $(\sqrt{3}, 3)$.

Построим график — параболу $y=x^2$ с выколотыми точками $(-\sqrt{3}, 3)$ и $(\sqrt{3}, 3)$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}; \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty)$. Графиком является парабола $y=x^2$ с выколотыми точками $(-\sqrt{3}; 3)$ и $(\sqrt{3}; 3)$.