Номер 11, страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 7. Повторение и расширение сведений о функции - номер 11, страница 71.

Условие.

11. Постройте график функции $y = \begin{cases} 2x + 1, \text{ если } x < 1, \\ -3x + 6, \text{ если } 1 \le x \le 3, \\ 2x - 9, \text{ если } x > 3. \end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение.

Решение.

Задача состоит из двух частей: построение графика кусочно-линейной функции и нахождение значений параметра $m$, при которых прямая $y=m$ имеет с этим графиком ровно две общие точки.

Построение графика функции

Функция задана тремя линейными выражениями на разных интервалах:

$y = \begin{cases} 2x + 1, & \text{если } x < 1 \\ -3x + 6, & \text{если } 1 \le x \le 3 \\ 2x - 9, & \text{если } x > 3 \end{cases}$

Для построения графика рассмотрим каждую часть отдельно.

1. При $x < 1$ имеем $y = 2x + 1$.

   Это прямая линия (луч). Для ее построения найдем координаты двух точек. Например, если $x = 0$, то $y = 1$. Если $x = -1$, то $y = -1$. Граничная точка интервала $x = 1$ не включается. Значение в этой точке было бы $y = 2(1) + 1 = 3$. Таким образом, график представляет собой луч, заканчивающийся в точке $(1, 3)$ (точка "выколота").

2. При $1 \le x \le 3$ имеем $y = -3x + 6$.

   Это отрезок прямой. Найдем координаты его концов. При $x = 1$, $y = -3(1) + 6 = 3$. Конец отрезка в точке $(1, 3)$. При $x = 3$, $y = -3(3) + 6 = -9 + 6 = -3$. Конец отрезка в точке $(3, -3)$.

3. При $x > 3$ имеем $y = 2x - 9$.

   Это прямая линия (луч). Граничная точка $x = 3$ не включается. Значение в этой точке было бы $y = 2(3) - 9 = -3$. Для построения найдем еще одну точку, например, при $x = 4$, $y = 2(4) - 9 = -1$. График — луч, начинающийся из "выколотой" точки $(3, -3)$.

Соединим все части. "Выколотые" точки $(1, 3)$ и $(3, -3)$ на концах лучей заполняются конечными точками отрезка, поэтому график функции является непрерывной линией. Точка $(1, 3)$ является локальным максимумом (вершиной), а точка $(3, -3)$ — локальным минимумом (впадиной).

Определение значений m

Прямая $y=m$ является горизонтальной линией. Необходимо найти значения $m$, при которых эта линия пересекает построенный график ровно в двух точках.

Проанализируем количество точек пересечения, мысленно перемещая прямую $y=m$ вдоль оси $y$ снизу вверх:

• Если прямая $y=m$ проходит ниже локального минимума (т.е. $m < -3$), она пересекает только левый луч ($y=2x+1$). Получаем одну точку пересечения.
• Если прямая $y=m$ проходит через локальный минимум (т.е. $m = -3$), она касается графика в точке $(3, -3)$ и пересекает левый луч ($2x+1=-3 \implies x=-2$). Получаем две точки пересечения.
• Если прямая $y=m$ проходит между локальным минимумом и локальным максимумом (т.е. $-3 < m < 3$), она пересекает все три части графика: левый луч, центральный отрезок и правый луч. Получаем три точки пересечения.
• Если прямая $y=m$ проходит через локальный максимум (т.е. $m = 3$), она касается графика в точке $(1, 3)$ и пересекает правый луч ($2x-9=3 \implies x=6$). Получаем две точки пересечения.
• Если прямая $y=m$ проходит выше локального максимума (т.е. $m > 3$), она пересекает только правый луч ($y=2x-9$). Получаем одну точку пересечения.

Таким образом, прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки только тогда, когда она проходит через вершины графика, то есть при $m = -3$ и $m = 3$.

Ответ: $m = -3; m = 3$.