Номер 11, страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.

Тип: рабочая тетрадь

Серия: алгоритм успеха

Издательство: Просвещение

Год издания: 2021 - 2025

Часть: 1

Цвет обложки: голубой

ISBN: 978-5-09-089843-0 (ч.1 2022 г.) 978-5-09-099671-6 (ч. 2 2023 г.)

Популярные ГДЗ в 9 классе

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 7. Повторение и расширение сведений о функции - номер 11, страница 71.

№11 (с. 71)
Условие. №11 (с. 71)
скриншот условия
Алгебра, 9 класс рабочая тетрадь, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2021, голубого цвета, Часть 1, страница 71, номер 11, Условие

11. Постройте график функции $y = \begin{cases} 2x + 1, \text{ если } x < 1, \\ -3x + 6, \text{ если } 1 \le x \le 3, \\ 2x - 9, \text{ если } x > 3. \end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение.

Решение. №11 (с. 71)

Задача состоит из двух частей: построение графика кусочно-линейной функции и нахождение значений параметра $m$, при которых прямая $y=m$ имеет с этим графиком ровно две общие точки.

Построение графика функции

Функция задана тремя линейными выражениями на разных интервалах:

$y = \begin{cases} 2x + 1, & \text{если } x < 1 \\ -3x + 6, & \text{если } 1 \le x \le 3 \\ 2x - 9, & \text{если } x > 3 \end{cases}$

Для построения графика рассмотрим каждую часть отдельно.

  1. При $x < 1$ имеем $y = 2x + 1$.

    Это прямая линия (луч). Для ее построения найдем координаты двух точек. Например, если $x = 0$, то $y = 1$. Если $x = -1$, то $y = -1$. Граничная точка интервала $x = 1$ не включается. Значение в этой точке было бы $y = 2(1) + 1 = 3$. Таким образом, график представляет собой луч, заканчивающийся в точке $(1, 3)$ (точка "выколота").

  2. При $1 \le x \le 3$ имеем $y = -3x + 6$.

    Это отрезок прямой. Найдем координаты его концов. При $x = 1$, $y = -3(1) + 6 = 3$. Конец отрезка в точке $(1, 3)$. При $x = 3$, $y = -3(3) + 6 = -9 + 6 = -3$. Конец отрезка в точке $(3, -3)$.

  3. При $x > 3$ имеем $y = 2x - 9$.

    Это прямая линия (луч). Граничная точка $x = 3$ не включается. Значение в этой точке было бы $y = 2(3) - 9 = -3$. Для построения найдем еще одну точку, например, при $x = 4$, $y = 2(4) - 9 = -1$. График — луч, начинающийся из "выколотой" точки $(3, -3)$.

Соединим все части. "Выколотые" точки $(1, 3)$ и $(3, -3)$ на концах лучей заполняются конечными точками отрезка, поэтому график функции является непрерывной линией. Точка $(1, 3)$ является локальным максимумом (вершиной), а точка $(3, -3)$ — локальным минимумом (впадиной).

x y 1 1 0 (1, 3) (3, -3)

Определение значений m

Прямая $y=m$ является горизонтальной линией. Необходимо найти значения $m$, при которых эта линия пересекает построенный график ровно в двух точках.

Проанализируем количество точек пересечения, мысленно перемещая прямую $y=m$ вдоль оси $y$ снизу вверх:

  • Если прямая $y=m$ проходит ниже локального минимума (т.е. $m < -3$), она пересекает только левый луч ($y=2x+1$). Получаем одну точку пересечения.
  • Если прямая $y=m$ проходит через локальный минимум (т.е. $m = -3$), она касается графика в точке $(3, -3)$ и пересекает левый луч ($2x+1=-3 \implies x=-2$). Получаем две точки пересечения.
  • Если прямая $y=m$ проходит между локальным минимумом и локальным максимумом (т.е. $-3 < m < 3$), она пересекает все три части графика: левый луч, центральный отрезок и правый луч. Получаем три точки пересечения.
  • Если прямая $y=m$ проходит через локальный максимум (т.е. $m = 3$), она касается графика в точке $(1, 3)$ и пересекает правый луч ($2x-9=3 \implies x=6$). Получаем две точки пересечения.
  • Если прямая $y=m$ проходит выше локального максимума (т.е. $m > 3$), она пересекает только правый луч ($y=2x-9$). Получаем одну точку пересечения.

Таким образом, прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки только тогда, когда она проходит через вершины графика, то есть при $m = -3$ и $m = 3$.

Ответ: $m = -3; m = 3$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 11 расположенного на странице 71 для 1-й части к рабочей тетради серии алгоритм успеха 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11 (с. 71), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), 1-й части ФГОС (старый) учебного пособия издательства Просвещение.