Номер 6, страница 65, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 2. Квадратичная функция. Параграф 7. Повторение и расширение сведений о функции - номер 6, страница 65.

Условие.

6. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \frac{6}{x^2 + 4x};$

Решение.

Область определения данной функции — множество решений неравенства $x^2 + 4x \neq 0.$

Решим уравнение $x^2 + 4x = 0.$ Имеем:

Следовательно, $D(f) = $

2) $f(x) = \frac{7x - 1}{x^2 + 6x - 7};$

Решение.

3) $f(x) = \sqrt{3x + 15} + \frac{1}{\sqrt{4x + 20}};$

Решение.

Область определения данной функции — множество решений системы неравенств

4) $f(x) = \sqrt{x - 11} + \sqrt{11 - x};$

Решение.

5) $f(x) = \sqrt{5x + 4} - \sqrt{2 - 3x}.$

Решение.

Решение.

1) $f(x) = \frac{6}{x^2 + 4x}$

Решение.

Область определения данной функции — это множество всех значений $x$, для которых знаменатель дроби не равен нулю.

Решим уравнение $x^2 + 4x = 0$, чтобы найти значения, которые нужно исключить:

$x(x + 4) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $x + 4 = 0 \implies x_2 = -4$.

Следовательно, знаменатель обращается в ноль при $x=0$ и $x=-4$. Эти значения необходимо исключить из области определения.

Таким образом, область определения функции $D(f)$ — это все действительные числа, кроме $-4$ и $0$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -4) \cup (-4; 0) \cup (0; +\infty)$.

2) $f(x) = \frac{7x - 1}{x^2 + 6x - 7}$

Решение.

Область определения функции задается условием, что знаменатель не равен нулю: $x^2 + 6x - 7 \neq 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 6x - 7 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $-6$, а их произведение равно $-7$. Подбором находим корни:

$x_1 = 1$, $x_2 = -7$.

Проверка: $1 + (-7) = -6$, $1 \cdot (-7) = -7$.

Таким образом, область определения функции — все действительные числа, кроме $1$ и $-7$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -7) \cup (-7; 1) \cup (1; +\infty)$.

3) $f(x) = \sqrt{3x + 15} + \frac{1}{\sqrt{4x + 20}}$

Решение.

Область определения данной функции — это множество решений системы неравенств. Выражение под первым корнем должно быть неотрицательным, а выражение под вторым корнем (который находится в знаменателе) — строго положительным.

$\begin{cases} 3x + 15 \ge 0 \\ 4x + 20 > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1) $3x + 15 \ge 0 \implies 3x \ge -15 \implies x \ge -5$.

2) $4x + 20 > 0 \implies 4x > -20 \implies x > -5$.

Найдем пересечение решений $x \ge -5$ и $x > -5$. Общим решением является $x > -5$.

Ответ: $D(f) = (-5; +\infty)$.

4) $f(x) = \sqrt{x - 11} + \sqrt{11 - x}$

Решение.

Область определения функции определяется системой неравенств, так как выражения под знаками квадратного корня должны быть неотрицательными.

$\begin{cases} x - 11 \ge 0 \\ 11 - x \ge 0 \end{cases}$

Решим систему:

$\begin{cases} x \ge 11 \\ -x \ge -11 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 11 \\ x \le 11 \end{cases}$

Единственное число, удовлетворяющее обоим неравенствам одновременно, — это $x = 11$.

Ответ: $D(f) = \{11\}$.

5) $f(x) = \sqrt{5x + 4} - \sqrt{2 - 3x}$

Решение.

Область определения функции — это множество значений $x$, при которых оба подкоренных выражения неотрицательны.

Составим и решим систему неравенств:

$\begin{cases} 5x + 4 \ge 0 \\ 2 - 3x \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1) $5x + 4 \ge 0 \implies 5x \ge -4 \implies x \ge -\frac{4}{5}$.

2) $2 - 3x \ge 0 \implies -3x \ge -2 \implies x \le \frac{2}{3}$.

Объединяя решения, получаем, что $x$ должен быть в промежутке от $-\frac{4}{5}$ до $\frac{2}{3}$ включительно.

Ответ: $D(f) = [-\frac{4}{5}; \frac{2}{3}]$.