Номер 29, страница 61, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Неравенства. Параграф 6. Системы линейных неравенств с одной переменной - номер 29, страница 61.

Условие.

29. При каких значениях $a$ корни уравнения $x^2 - (a + 1)x - 2a^2 + 11a - 12 = 0$ принадлежат промежутку $[-5; 7]$?

Решение.

Найдём дискриминант данного уравнения:

$D = (a + 1)^2 - 4(-2a^2 + 11a - 12)$

Тогда $x_1 =$

$x_2 =$

Ответ:

Решение.

1. Найдем дискриминант и корни уравнения.

Дано квадратное уравнение $x^2 - (a + 1)x - 2a^2 + 11a - 12 = 0$.

Для начала найдем его дискриминант $D$:

$D = (-(a + 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2a^2 + 11a - 12) = (a + 1)^2 + 8a^2 - 44a + 48$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$D = a^2 + 2a + 1 + 8a^2 - 44a + 48 = 9a^2 - 42a + 49$

Заметим, что полученное выражение является полным квадратом:

$D = (3a)^2 - 2 \cdot (3a) \cdot 7 + 7^2 = (3a - 7)^2$

Поскольку $D = (3a - 7)^2 \ge 0$ при любых значениях $a$, уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем корни уравнения по общей формуле:

$x_{1,2} = \frac{-(-(a+1)) \pm \sqrt{(3a - 7)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{a + 1 \pm |3a - 7|}{2}$

Вне зависимости от знака выражения $3a - 7$, корнями уравнения будут два числа:

$x_1 = \frac{a + 1 + (3a - 7)}{2} = \frac{4a - 6}{2} = 2a - 3$

$x_2 = \frac{a + 1 - (3a - 7)}{2} = \frac{-2a + 8}{2} = -a + 4$

Итак, корни уравнения: $x_1 = 2a - 3$ и $x_2 = -a + 4$.

2. Найдем значения параметра $a$, при которых корни принадлежат промежутку $[-5; 7]$.

Согласно условию, оба корня должны принадлежать промежутку $[-5; 7]$. Это означает, что должны одновременно выполняться два двойных неравенства:

$\begin{cases} -5 \le x_1 \le 7 \\ -5 \le x_2 \le 7 \end{cases} \implies \begin{cases} -5 \le 2a - 3 \le 7 \\ -5 \le -a + 4 \le 7 \end{cases}$

Решим каждое двойное неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:

$-5 \le 2a - 3 \le 7$

Прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$-5 + 3 \le 2a \le 7 + 3$

$-2 \le 2a \le 10$

Разделим все части на 2:

$-1 \le a \le 5$, то есть $a \in [-1; 5]$.

Второе неравенство:

$-5 \le -a + 4 \le 7$

Вычтем 4 из всех частей неравенства:

$-5 - 4 \le -a \le 7 - 4$

$-9 \le -a \le 3$

Умножим все части на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:

$9 \ge a \ge -3$

Запишем в стандартном виде: $-3 \le a \le 9$, то есть $a \in [-3; 9]$.

Для выполнения условия задачи необходимо, чтобы выполнялись оба найденных условия для $a$. Найдем пересечение полученных промежутков:

$\begin{cases} a \in [-1; 5] \\ a \in [-3; 9] \end{cases}$

Пересечением этих двух множеств является отрезок $[-1; 5]$.

Ответ: $a \in [-1; 5]$.