Номер 27, страница 58, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Неравенства. Параграф 6. Системы линейных неравенств с одной переменной - номер 27, страница 58.

Условие.

27. Решите неравенство:

1) $(x + 6)(x - 7) < 0;$

Решение.

Произведение двух чисел меньше нуля, если они имеют разные знаки.

Тогда получаем две системы неравенств:

$\begin{cases} x + 6 > 0, \\ x - 7 < 0 \end{cases}$ или $\begin{cases} x + 6 < 0, \\ x - 7 > 0; \end{cases}$

$\begin{cases} x > -6, \\ x < 7 \end{cases}$ или $\begin{cases} x < -6, \\ x > 7; \end{cases}$

Ответ:

2) $(2x - 3)(3x + 12) \ge 0;$

Решение.

Ответ:

3) $\frac{3x + 1}{x - 7} \ge 0;$

Решение.

Частное двух чисел больше или равно нулю, если делимое является неотрицательным числом, а делитель — положительным, или если делимое является

Тогда получаем две системы неравенств:

$\begin{cases} 3x + 1 \ge 0, \\ x - 7 > 0 \end{cases}$ или $\begin{cases} 3x + 1 \le 0, \\ x - 7 < 0; \end{cases}$

Ответ:

4) $\frac{6x - 5}{4x + 10} \le 0.$

Решение.

Ответ:

Решение.

1) $(x+6)(x-7) < 0$

Решение.

Произведение двух сомножителей отрицательно, если и только если сомножители имеют разные знаки. Это равносильно совокупности двух систем неравенств:

$\begin{cases} x+6 > 0 \\ x-7 < 0 \end{cases}$ или $\begin{cases} x+6 < 0 \\ x-7 > 0 \end{cases}$

Решим каждую систему по отдельности:

а) $\begin{cases} x+6 > 0 \\ x-7 < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -6 \\ x < 7 \end{cases}$. Решением этой системы является интервал $(-6; 7)$.

б) $\begin{cases} x+6 < 0 \\ x-7 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < -6 \\ x > 7 \end{cases}$. Эта система не имеет решений, так как не существует такого значения $x$, которое было бы одновременно меньше $-6$ и больше $7$.

Объединение решений этих двух систем дает итоговый ответ.

Ответ: $(-6; 7)$.

2) $(2x - 3)(3x + 12) \ge 0$

Решение.

Произведение двух сомножителей неотрицательно, если и только если сомножители имеют одинаковые знаки (оба неотрицательны или оба неположительны). Это равносильно совокупности двух систем неравенств:

$\begin{cases} 2x-3 \ge 0 \\ 3x+12 \ge 0 \end{cases}$ или $\begin{cases} 2x-3 \le 0 \\ 3x+12 \le 0 \end{cases}$

Решим каждую систему по отдельности:

а) $\begin{cases} 2x-3 \ge 0 \\ 3x+12 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x \ge 3 \\ 3x \ge -12 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge \frac{3}{2} \\ x \ge -4 \end{cases}$. Решением этой системы является луч $[\frac{3}{2}; +\infty)$.

б) $\begin{cases} 2x-3 \le 0 \\ 3x+12 \le 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x \le 3 \\ 3x \le -12 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le \frac{3}{2} \\ x \le -4 \end{cases}$. Решением этой системы является луч $(-\infty; -4]$.

Объединение решений этих двух систем дает итоговый ответ.

Ответ: $(-\infty; -4] \cup [\frac{3}{2}; +\infty)$.

3) $\frac{3x+1}{x-7} \ge 0$

Решение.

Дробь неотрицательна, если и только если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки, при этом знаменатель не должен быть равен нулю. Это равносильно совокупности двух систем неравенств:

$\begin{cases} 3x+1 \ge 0 \\ x-7 > 0 \end{cases}$ или $\begin{cases} 3x+1 \le 0 \\ x-7 < 0 \end{cases}$

Решим каждую систему по отдельности:

а) $\begin{cases} 3x+1 \ge 0 \\ x-7 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x \ge -1 \\ x > 7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -\frac{1}{3} \\ x > 7 \end{cases}$. Решением этой системы является интервал $(7; +\infty)$.

б) $\begin{cases} 3x+1 \le 0 \\ x-7 < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x \le -1 \\ x < 7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le -\frac{1}{3} \\ x < 7 \end{cases}$. Решением этой системы является луч $(-\infty; -\frac{1}{3}]$.

Объединение решений этих двух систем дает итоговый ответ.

Ответ: $(-\infty; -\frac{1}{3}] \cup (7; +\infty)$.

4) $\frac{6x-5}{4x+10} \le 0$

Решение.

Дробь неположительна, если и только если числитель и знаменатель имеют разные знаки, при этом знаменатель не должен быть равен нулю. Это равносильно совокупности двух систем неравенств:

$\begin{cases} 6x-5 \ge 0 \\ 4x+10 < 0 \end{cases}$ или $\begin{cases} 6x-5 \le 0 \\ 4x+10 > 0 \end{cases}$

Решим каждую систему по отдельности:

а) $\begin{cases} 6x-5 \ge 0 \\ 4x+10 < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 6x \ge 5 \\ 4x < -10 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge \frac{5}{6} \\ x < -\frac{5}{2} \end{cases}$. Эта система не имеет решений.

б) $\begin{cases} 6x-5 \le 0 \\ 4x+10 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 6x \le 5 \\ 4x > -10 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le \frac{5}{6} \\ x > -\frac{5}{2} \end{cases}$. Решением этой системы является полуинтервал $(-\frac{5}{2}; \frac{5}{6}]$.

Объединение решений этих двух систем дает итоговый ответ.

Ответ: $(-\frac{5}{2}; \frac{5}{6}]$.