Номер 30, страница 61, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк, Полонский

Часть 1. Глава 1. Неравенства. Параграф 6. Системы линейных неравенств с одной переменной - номер 30, страница 61.

Условие.

30. При каких значениях $a$ один из корней уравнения $4x^2 - 2(3a + 4)x + 2a^2 + 9a - 5 = 0$ меньше $-3$, а другой – больше $4$?

Решение.

Решение.

Рассмотрим квадратичную функцию $f(x) = 4x^2 - 2(3a + 4)x + 2a^2 + 9a - 5 = 0$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $4 > 0$.

По условию задачи, один корень уравнения, назовем его $x_1$, меньше $-3$, а другой корень, $x_2$, больше $4$. То есть, $x_1 < -3$ и $x_2 > 4$. Это означает, что числа $-3$ и $4$ находятся между корнями параболы.

Для параболы с ветвями, направленными вверх, это условие выполняется тогда и только тогда, когда значения функции в точках $x = -3$ и $x = 4$ отрицательны. Это гарантирует наличие двух различных действительных корней и их расположение по разные стороны от отрезка $[-3, 4]$. Таким образом, нам необходимо решить систему неравенств: $$ \begin{cases} f(-3) < 0 \\ f(4) < 0 \end{cases} $$

Вычислим значения функции в этих точках:
$f(-3) = 4(-3)^2 - 2(3a + 4)(-3) + 2a^2 + 9a - 5 = 4 \cdot 9 + 6(3a + 4) + 2a^2 + 9a - 5 = 36 + 18a + 24 + 2a^2 + 9a - 5 = 2a^2 + 27a + 55$.
$f(4) = 4(4)^2 - 2(3a + 4)(4) + 2a^2 + 9a - 5 = 4 \cdot 16 - 8(3a + 4) + 2a^2 + 9a - 5 = 64 - 24a - 32 + 2a^2 + 9a - 5 = 2a^2 - 15a + 27$.

Теперь наша система неравенств выглядит так: $$ \begin{cases} 2a^2 + 27a + 55 < 0 \\ 2a^2 - 15a + 27 < 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство: $2a^2 + 27a + 55 < 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2a^2 + 27a + 55 = 0$.
Дискриминант $D = 27^2 - 4 \cdot 2 \cdot 55 = 729 - 440 = 289 = 17^2$.
Корни: $a_1 = \frac{-27 - \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{-27 - 17}{4} = -11$; $a_2 = \frac{-27 + \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{-27 + 17}{4} = -\frac{10}{4} = -2.5$.
Поскольку парабола $y = 2a^2 + 27a + 55$ имеет ветви вверх, неравенство $2a^2 + 27a + 55 < 0$ выполняется между корнями.
Следовательно, решение первого неравенства: $a \in (-11; -2.5)$.

Решим второе неравенство: $2a^2 - 15a + 27 < 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2a^2 - 15a + 27 = 0$.
Дискриминант $D = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 27 = 225 - 216 = 9 = 3^2$.
Корни: $a_3 = \frac{15 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{15 - 3}{4} = 3$; $a_4 = \frac{15 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{15 + 3}{4} = \frac{18}{4} = 4.5$.
Поскольку парабола $y = 2a^2 - 15a + 27$ имеет ветви вверх, неравенство $2a^2 - 15a + 27 < 0$ выполняется между корнями.
Следовательно, решение второго неравенства: $a \in (3; 4.5)$.

Для нахождения искомых значений $a$ необходимо найти пересечение решений обоих неравенств, то есть $a \in (-11; -2.5) \cap (3; 4.5)$.
Интервалы $(-11; -2.5)$ и $(3; 4.5)$ не имеют общих точек, их пересечение пусто.

Ответ: таких значений $a$ не существует.